空间几何异面直线间的距离经典例题与同步练习

立体几何专题复习考点1异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例1如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（I）求证：平面平面；（II）求异面直线与所成角的正切值的大小．思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解答过程：（I）由题意，，，是二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．7 同步练习：1.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（1）求四棱锥S-ABCD的体积；（2）求直线AB与直线SD所成角的大小7 2.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角7 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．7 考点2.简单多面体的侧面积及体积的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.A1B1C1ABCDO例2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a，A1在底面△ABC上的射影O在AC上①求AB与侧面AC1所成角；②若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.[思路启迪]①找出AB与侧面AC1所成角即是∠CAB；②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC1B1是正方形，侧面ACC1A1和侧面ABB1A1是平行四边形，分别求其面积即可.解答过程：①点A1在底面ABC的射影在AC上，∴平面ACC1A1⊥平面ABC.在△ABC中，由BC＝AC＝a，AB＝a.∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面ACC1A1.即∠CAB为AB与侧面AC1所成的角在Rt△ABC中，∠CAB＝45°.∴AB与侧面AC1所成角是45°.∵O是AC中点，在Rt△AA1O中，AA1＝a，AO＝a.∴AO1＝a.∴侧面ACC1A1面积S1＝.又BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥CC1.又BB1＝BC＝a，∴侧面BCC1B1是正方形，面积S2＝a2.过O作OD⊥AB于D，∵A1O⊥平面ABC，∴A1D⊥AB.7 在Rt△AOD中，AO＝a，∠CAD＝45°∴OD＝a在Rt△A1OD中，A1D＝＝.∴侧面ABB1A1面积S3＝＝.∴三棱柱侧面积S＝S1＋S2＋S3＝.同步练习：1.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD（I）求证：AB⊥DE（Ⅱ）求三棱锥E-ABD的侧面积7 2.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．（1）求线段PD的长；（2）若PC＝R，求三棱锥P-ABC的体积．7