高考课后素养落实(十七) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为( )A.-3 B.3 C.-3或3 D.1或3C[由题意得=,解得a=-3或3.]2.若两条直线l1:x+2y-6=0与l2:2x+ay+8=0平行,则l1与l2之间的距离是( )A.2B.C.D.A[两条直线l1:x+2y-6=0与l2:2x+ay+8=0平行,则=≠,解得a=4.所以2x+4y+8=0可化为x+2y+4=0,所以两直线间的距离d===2.故选A.]3.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )A.B.C.D.C[由于直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行,所以|PQ-6-/6
高考|的最小值即为两平行直线间的距离,即|PQ|min==.]4.已知直线l:kx-y+2=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是( )A.B.C.D.3B[直线l:kx-y+2=0恒过点(0,2),∴M(0,2).∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,∴|MP|的最小值为点M到直线2x+y-1=0的距离,∴d===.故选B.]5.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值X围是( )A.(0,+∞)B.[0,5]C.(0,5]D.[0,]C[当两条平行直线l1,l2与直线PQ垂直时,l1,l2间的距离最大,最大距离为|PQ|==5,所以l1,l2之间的距离的取值X围是(0,5].]二、填空题6.若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y-3=0的距离为,则m=________.[由题意得直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y-3=0平行,又直线l2:2x+6y-3=0的方程可化为x+3y-=0,∴两直线的距离d==,得m=-或-6-/6
高考m=.∵m>0,∴m=.]7.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是________.5[两条直线方程为x=-2和x=3,从而两条平行线间的距离为|3-(-2)|=5.]8.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(3,4),C(-2,-1),则△ABC的面积为________.5[由两点式得AB的直线方程为=,即3x-y-5=0.再由点到直线的距离公式得点C到直线AB的距离为d==.又|AB|==.∴S△ABC=××=5.]三、解答题9.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.[解]法一:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,不合题意,因此直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,得=,解得k=0或k=1.∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.法二:当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),∴直线l的方程是x-y+2=0;当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.-6-/6
高考∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.10.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.[解] 由解得所以中心坐标为(-1,0).所以中心到已知边的距离为=.设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0.因为正方形中心到各边距离相等,所以=和=.所以m=4或m=-2(舍去),n=6或n=0.所以其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.1.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( )A.3x-y-13=0B.3x-y+13=0C.3x+y-13=0D.3x+y+13=0C[由已知可知,l是过A且与AB垂直的直线,∵kAB==,∴kl=-3,由点斜式得,y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.]2.一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是( )A.x+2y-2=0B.2x-y+2=0-6-/6
高考C.x-2y+2=0D.2x+y-2=0B[点A(1,0)关于y轴的对称点A′(-1,0)在反射光线所在的直线上,因此反射光线所在直线的截距式方程为+=1,即2x-y+2=0,故选B.]3.已知a,b,c为直角三角形的三边长,c为斜边长,若点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为________.4[因为a,b,c为直角三角形中的三边长,c为斜边长,所以c=,又因为点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,所以m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方,所以m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方,由点到直线的距离公式可得d==2,所以m2+n2的最小值为d2=4.]4.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为________.[由得故P(1,2).直线l的方程可整理为x+2+a(y-1)=0,故直线l过定点Q(-2,1).因为P到直线l的距离d≤|PQ|,当且仅当l⊥PQ时等号成立,所以dmax==.]已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小;(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||最大.[解] (1)设A关于直线l的对称点为A′(m,n),则-6-/6
高考解得故A′(-2,8).因为P为直线l上的一点,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点P即是直线A′B与直线l的交点,则得故所求的点P的坐标为(-2,3).(2)A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,为|AB|,点P即是直线AB与直线l的交点,又直线AB的方程为y=x-2,则得故所求的点P的坐标为(12,10).-6-/6