高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

优选2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离学习任务核心素养1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？知识点1 点到直线的距离(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.1.(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？(2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b-13-/13 优选的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法．[提示] (1)直线方程应为一般式．(2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解：P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________.[d＝＝.]知识点2 投影向量设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，||＝|·n|.知识点3 两条平行直线间的距离(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．(2)求法：两条平行直线间的距离转化为求点到直线的距离．(3)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.2.(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？[提示] (1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．(2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.2.两条平行直线5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0之间的距离为(  )-13-/13 优选A．    B．    C．    D．1C[由两条平行直线的距离公式得：d＝＝.]类型1 点到直线的距离【例1】(对接教材P77例题)(1)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(  )A．0或－B．或－6C．－或D．0或(2)已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．(3)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为________．(1)B (2) (3)－1[(1)依题意得＝，即|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，展开合并同类项得8m2＋44m－24＝0，即2m2＋11m－6＝0，解得m＝或m＝－6，故选B．(2)因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝.故答案为.(3)直线方程可化为m(x－2)－y＋1＝0，令得.即直线mx－y＋1－2m＝0-13-/13 优选恒过定点Q(2,1)且斜率为m，当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点P到直线的距离最大．此时m·＝－1，所以m＝－1.]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．[跟进训练]1．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为(  )A．4B．2C．4D．3(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程为________．(1)D (2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0[(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离d＝＝≥＝3，∴d有最小值3，故选D．(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，d＝＝＝.-13-/13 优选所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.]类型2 两条平行线间的距离【例2】 (1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(  )A．4B．C．D．(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．(1)D[∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2.∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0.法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝.法二：在l1上取一点M(0,3)，则点M到l2的距离d＝＝即为所求．](2)[解]当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1，l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.-13-/13 优选若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.求两条平行直线间的距离的两种思路？[提示] (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．[跟进训练]2．(1)与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是________．(2)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为________．(1)5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0 (2)x＋y－6＝0[(1)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0(C≠6)，由两平行直线间的距离公式，得＝2，解得C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.(2)由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以＝，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0.]类型3 利用距离公式解决最值问题-13-/13 优选【例3】 两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的取值范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．分别过两点的平行线的距离有没有最大值和最小值？[解] (1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3；当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0