高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 练习含解析

十五 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离     (25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为(  )A.3x+4y-21=0B.4x+3y-21=0C.x=3D.y=3【解析】选AC.直线l:x=3满足条件.直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y-3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0.由题意可得:=2,解得k=-,所以直线l的方程为:3x+4y-21=0.综上可得:直线l的方程为:x=3或3x+4y-21=0.2.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于(  )A.3   B.4   C.5   D.6【解析】选C.设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是(  )A.3x+y±10=0B.3x+y±=0C.x-3y±10=0D.x-3y±=0 【解析】选A.设与直线3x+y-2=0平行的直线方程为3x+y+m=0,由原点到直线l的距离为,得=,则m=±10,所以直线l的方程是3x+y±10=0.4.已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于(  )A.-12   B.48C.36   D.-12或48【解析】选D.将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由=3解得c=-20或c=40,所以b+c=-12或48.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知直线l1:ax-y-1=0,直线l2:x+y-3=0.若直线l1的倾斜角为,则a=    ;若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为    . 【解析】根据题意,直线l1:ax-y-1=0,即y=ax-1,其斜率k=a,若直线l1的倾斜角为,则其斜率k=tan=1,则有a=1,若l1∥l2,则有a×1=(-1)×1,解得a=-1,此时l1的方程为-x-y-1=0,即x+y+1=0,则l1,l2之间的距离d==2.答案:1 26.已知点A(-1,2),B(1,4),若直线l过点M(-2,-3),且A,B到直线l的距离相等,则直线l的一般式方程为    .  【解析】①当直线l与直线AB平行时,直线AB的斜率k==1,此时直线l的方程为y+3=x+2,即x-y-1=0;②当直线l过线段AB的中点时,AB的中点的坐标为(0,3),此时直线l的方程为=,即3x-y+3=0.综上知,直线l的方程为x-y-1=0或3x-y+3=0.答案:x-y-1=0或3x-y+3=0三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知直线l:mx+y-3m-1=0恒过定点A.(1)若直线l经过点A且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程.(2)若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,求直线l的方程.【解析】(1)因为直线mx+y-3m-1=0恒过定点A.所以(x-3)m+y-1=0,由,得A(3,1),设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x-2y+a=0,把A(3,1)代入,得:3-2+a=0,解得a=-1,所以直线l的方程为x-2y-1=0.(2)直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,成立;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,原点O到直线l的距离d==3,解得k=-,直线l的方程为:y-1=-(x-3),即4x+3y-15=0.综上,直线l的方程为x=3或4x+3y-15=0.【加练·固】  已知直线l经过点P(-2,1),且与直线x+y=0垂直.(1)求直线l的方程. (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为,求直线m的方程.【解析】(1)由题意知直线l的斜率为1,所求直线方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.(2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为x-y+c=0,由点到直线的距离公式得=,即|c-3|=2,解得c=1或c=5.所以所求直线m的方程为x-y+1=0或x-y+5=0.8.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.【解析】因为由解得所以中心坐标为(-1,0).所以中心到已知边的距离为=.设正方形与相邻已知边的两边方程分别为x+3y+m=0和3x-y+n=0.因为正方形中心到各边距离相等,所以=和=.所以m=4或m=-2(舍去),n=6或n=0.所以其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.(15分钟·30分)1.(5分)两平行直线l1,l2分别过点P(1,3),Q(2,1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是(  )A.(0,+∞)B.[0,]C.(0,]D.[0,]【解析】选C.当平行线趋近一条直线时,两条直线的距离最小,当平行线与PQ垂直时距离最大, 且最大距离为PQ==,故选C.2.(5分)已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为(  )A.(0,-2)B.(2,4)C.(0,-2)或(2,4)D.(1,1)【解析】选C.直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=,整理得|t|=1,所以t=1或-1.当t=1时,点P的坐标为(2,4);当t=-1时,点P的坐标为(0,-2).3.(5分)在直线x+3y=0上求一点,使它到原点的距离和到直线x+3y+2=0的距离相等,则此点坐标是    . 【解析】由于点在直线x+3y=0上,设点的坐标为(-3a,a),又因为直线x+3y=0与直线x+3y+2=0平行,则两平行线间的距离为=,根据题意有=,解得a=±.答案:或4.(5分)已知直线l:y=2ax+(a-2)过第一、三、四象限,其中a∈Z,则点A(1,-3)到直线l的距离为    . 【解析】因为直线l:y=2ax+(a-2)过第一、三、四象限,所以所以0