距离平行垂直体积角

立体几何全解 角的问题距离问题平行问题题问直垂体积问题题问体何几请将移到相应项目上单击 角的问题角的问题 预备知识角的知识正弦定理ABCbcSABC=bcsinA余弦定理ABCbcacosA= 直线与平面所成角直线与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角异面直线所成的角空间的角 异面直线所成的角异面直线所成的角 ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？A1B和B1C所成的角为60°和A1B成角为60°的面对角线共有条。 在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？ABDCA1B1D1C1E 在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？ABDCA1B1D1C1MN PABCMN空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？E 已知：两异面直线a,b所成的角是50°，P为空间中一定点，则过点P且与a,b都成30°角的直线有条。abPO2 线面角 斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角AOB 当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0° 斜线与平面所成的角（0°,90°）直线与平面所成的角〔0°,90°〕异面直线所成的角（0°,90°〕 若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为。60°AOB 最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。 若直线l1与平面所成的角为60°，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为，最大的角为。90°60°Ol1 若直线l1与平面所成的角为30°，直线l2与l1所成的角为60°,求直线l2与平面所成的角的范围?l10°,90°l2l2 AOBC如图,直线OA与平面所成的角为,平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为,设∠AOC为2求证:cos2=cos1×cos 求直线与平面所成的角时,应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：①作出或找出斜线上的点到平面的垂线②作出或找出斜线在平面上的射影③求出斜线段，射影，垂线段的长度④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值 例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O SACBOFE如图，ACB=90，S为平面ABC外一点，SCA=SCB=60，求SC与平面ACB所成的角 ABCDFEADFD`A`CGBE正方形ABCD边长为3，AE=2BE，CF=2DF，沿EF将直角梯形AEFD折起，使点A`的射影点G落在边BC上，求A`E与平面ABCD所成的角？ 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为下底面AC的中心，求A1O与平面BB1D1D所成的角ABCDA1B1C1D1OO` SACBOFE如图，SA,SB,SC是三条射线，BSC=60,SA上一点P到平面BSC的距离是3,P到SB,SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角P 正四面体P—ABC中，求侧棱PA与底面ABC所成的角PABCHD 二面角 从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱 二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O 二面角的求法二面角的求法(1)垂线法——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小(2)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角(3)射影法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角的大小为COS=S`÷S 垂线法 垂面法 ABCDO射影法 ABCA`M已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`，⊿ABC的面积是S，⊿A`BC的面积是S`，设二面角A-BC-A`为求证：COS=S`÷SD 例题选讲ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？O 例题选讲过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角B—SC—D的大小？ABCDSOE 课堂练习在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1—EF—C的大小？EFABDCA1B1D1C1 课堂练习⊿ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小?SABCED 课堂练习ABCD求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？ 三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BCPABC（1）求二面角P-BC-A的大小34 三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BCPABC（1）求二面角P-BC-A的大小（2）求二面角A-PC-B的大小DEBD=DE=COS= 在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C 在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH 四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？PDABCNMOH 平行问题平行问题 直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系 直线在平面内直线和平面相交直线和平面平行线面位置关系有无数个公共点有且仅有一个公共点没有公共点 位置关系图示表示方法公共点个数直线在平面内a无数个直线在平面外直线与平面相交斜交a一个垂直相交a一个直线与平面平行a无αaαaαAAaαa 平行于同一平面的二直线的位置关系是（）（A）一定平行（B）平行或相交（C）相交（D）平行，相交，异面D （1）点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有条。αA无数 （2）点A是直线l外的一点，过A和直线l平行的平面有个。A无数 （3）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有个。无数 （4）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有个。且仅有一 （5）如果l1//l2,l1平行于平面，则l2平面l1l2l2或// （6）如果两直线a,b相交，a平行于平面，则b与平面的位置关系是。abb相交或平行 过直线l外两点，作与直线l平行的平面，这样的平面（）（A）有无数个（C）只能作出一个（B）不能作出（D）以上都有可能ABl 过直线l外两点，作与平面平行，的平面，这样的平面（）（A）有无数个（C）只能作出一个（B）不能作出（D）以上都有可能ABl 过直线l外两点，作与平面平行，的平面，这样的平面（）（A）有无数个（C）只能作出一个（B）不能作出（D）以上都有可能ABlD 线面平行的判定(1)定义——直线与平面没有公共点(2)定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行判定定理——如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。已知：aba//b求证：a//abP(1)a,b确定平面，=b(2)假设a与不平行则a与有公共点P则P=b(3)这与已知a//b矛盾(4)∴a// 如图，空间四面体P-ABC,M,N分别是面PCA和面PBC的重心求证：MN//面BCAEFP∵MN//EF∴MN//面BCA线线平行线面平行 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN求证：MN//面BCEABCDEFMNGH∵MN//GH∴MN//面BCE线线平行线面平行 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN求证：MN//面BCEABCDEFMNH∵△AFN∽△BNH∴AN/NH=FN/BN∴AN/NH=AM/MC∴MN//CH∴MN//面BCE ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EEF∵DB1//EF∴DB1//面A1C1E线线平行线面平行 在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心，求证：CO//面A1C1BABDCA1B1D1C1B1OF 线面平行的性质线面平行的性质(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点。(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线。(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行已知：a//,a,=b求证：a//bab=bba//ab=a//b 如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行abc 如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行abcl已知：a//，a//，=l求证：a//l abABOMNPD如图，a,b是异面直线，O为AB的中点，过点O作平面与两异面直线a,b都平行MN交平面于点P，求证：MP=PN αβ 知识点回顾：一、两个平面平行的判定方法二、两个平面平行的性质 一、两个平面平行的判定方法1、两个平面没有公共点2、一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面3、都垂直于同一条直线的两个平面两个平面平行 二、两个平面平行的性质4、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行两个平面平行5、夹在两个平行平面间的平行线段相等1、两个平面没有公共点 判断下列命题是否正确？1、平行于同一直线的两平面平行2、垂直于同一直线的两平面平行3、与同一直线成等角的两平面平行αβαβθθαβθθ 4、垂直于同一平面的两平面平行5、若α∥β,则平面α内任一直线a∥β6、若nα,mα,n∥β,m∥β则α∥β∩∩αβnmγβα 例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面AB1D1∥面BDC1ABCDA1B1C1D1证明：BD∥B1D1∩BD面BDC1∩B1D1面BDC1B1D1∥面BDC1同理：AB1∥面BDC1B1D1∩AB1=B1面AB1D1∥面BDC1线∥线线∥面面∥面 ABCDA1B1C1D1证法2：AC⊥BDA1A⊥面ACA1C在面AC上的射影为ACA1C⊥BDBD∩BC1=BA1C⊥BC1同理:A1C⊥面BDC1同理:A1C⊥面AB1D1面AB1D1∥面BDC1 变形1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为A1D1,A1B1,A1A的中点求证：面EFG∥面BDC1变形2:若O为BD上的点求证：OC1∥面EFGO面∥面由上知面EFG∥面BDC1∩OC1面BDC1ABCDA1B1C1D1EFG线∥面OC1∥面EFG 变形3:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M,N分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点ABCDA1B1C1D1EFNM求证：面AEF∥面BDMN 小结：线平行线线平行面面平行面线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质三种平行关系的转化 AEBCDGF已知：四面体A-BCD，E,F,G分别为AB,AC,AD的中点求证：面EFG∥面BCD练习 垂直问题垂直问题 线面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 线面垂直的判定方法（1）定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。（2）判定定理1——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。（3）判定定理2——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。 线面垂直的性质（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。 填空（1）l,ml____m（2）n,m,m与n_____,lm,ln,l（3）l,m,l____m（4）l//m,l,m____相交// PABC如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面（1）BC⊥面PAC PABC如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面则AH⊥面PBCH若AH⊥PC ABDCA1B1D1C1O在正方体AC1中，O为下底面的中心，求证：AC⊥面D1B1BD ABDCA1B1D1C1OH在正方体AC1中，O为下底面的中心，B1H⊥D1O求证：AC⊥面D1B1BD求证：B1H⊥面D1AC 已知:l//,m求证:lmmln abAc已知:a,b是异面直线,AB是它们的公垂线，a,b,c求证:AB//cBm 面面垂直 定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直判定定理ABEDC线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直PABC∵PA⊥面ABC∴面PAC⊥面ABC∴面PAB⊥面ABC∵BC⊥面PAC∴面PBC⊥面PAC∴面ABC⊥面PAC 性质定理如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面ABDCE线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直 求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直ab 求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l垂直于另一个平面l 求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l垂直于另一个平面lPAB 四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD⊥面BCD，设DE是BC边上的高，求证：平面ADE⊥面ABCABCED面ADC⊥面BCD面ABD⊥面BCDAD⊥面BCDAD⊥BCDE⊥BCBC⊥面ADE面ABC⊥面ADE①②③④线面垂直面面垂直线线垂直①②③④ PACB⊿ABC是直角三角形,∠ACB=90°,P为平面外一点，且PA=PB=PC求证：平面PAB⊥面ABCOQ 课堂练习课堂练习空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有（）ABCED(A)平面ABD⊥面BCD(B)平面BCD⊥面ABC(C)平面ACD⊥面ABC(D)平面ACD⊥面BDE 如图，ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？ABDPC面PAC⊥面ABCD面PAB⊥面ABCD面PAD⊥面ABCD面PAD⊥面PAB面PAD⊥面PCD面PBC⊥面PAB面PBD⊥面PAC 如图，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BM=MC求证：PB⊥AC①②二面角C-PA-M的大小PMBCAD 如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB=90°,PB=BC=CA,E为PC中点，求证：平面PAC⊥面PBC①②求异面直线PA与BE所成角的大小ACBEPQ 如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°,E为PC上任意一点，ACDBPE求证：平面BED⊥面PAC①O若E是PC中点，AB=PA=a,求二面角E-CD-A的大小②F 距离问题距离问题 点—点点—线点—面线—线线—面 点—点PABO60°sin60°=2R=PO 点—线ABCDA1B1C1D1H已知：长方体AC1中，AB=a，AA1=AD=b求点C1到BD的距离？C1H= 线—线ABCDEF已知：矩形ABCD和矩形ABEF所在的平面相交，EF=5，AD=13，求平行线AB和CD的距离？ 点—面AH从平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做点在这个平面内的射影这个点和垂足间的距离叫做点到平面的距离线面垂直点的射影点面距离 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DO 已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEF 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？外心已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？内心PABCO 直角三角形ACB确定平面，点P在平面外，若点P到直角顶点C的距离是24，到两直角边的距离都是6，求点P到平面的距离？PABCEFO 例题：已知一条直线l和一个平面平行，求证：直线l上各点到平面的距离相等AA`BB`l 线—面lA`A一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离 lA`AlA`AB点—面线—面 如果一条直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和平面平行吗？ 已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离分别为3cm和5cm，求AB中点到平面的距离35 空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？ABCD4 空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？ABCDABCD43 ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D(2)A到BD1的距离 ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D(2)A到BD1的距离(3)A到面A1B1CD ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D(2)A到BD1的距离(3)A到面A1B1CD(4)A到平面BB1D1 ABCDPFE已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，求点B到平面PEF的距离？GOH点—线点—面线—面 棱长为1的正四面体P——ABC中，求点P到平面ABC的距离？ABCOP 四个半径均为r的小球放置在水平桌面上，形成一个下3上1的金字塔型，求此金字塔的高度 体积问题体积问题 体积问题 常用体积公式常用体积公式abcV长方体=abc s常用体积公式常用体积公式hV棱柱=·hs底V棱柱=·ls直 常用体积公式常用体积公式V棱锥=·hs底 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？ABCDABCDOO 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？ABCDABCDO 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点，棱长为a,求四棱锥D1-AEC1F的体积？ABDCA1B1D1C1EF 平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1A1B1C1D1ABCD 平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1A1B1C1D1ABCD 平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1（2）求平行六面体的体积？A1B1C1D1ABCDV=SA1B1CD1×CEEoCE=SA1B1C1D1== 平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1（2）求平行六面体的体积？A1B1C1D1ABCDS⊿B1CD1=VC1-B1CD1=S⊿B1CD1×CC1 平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1（2）求平行六面体的体积？A1B1C1D1ABCDS⊿B1CD1=VC1-B1CD1=S⊿B1CD1×CC1==S⊿B1C1D1×hV=(2S⊿B1C1D1)×h 求多面体的体积时常用的方法1、直接法2、割补法3、变换法根据条件直接用柱体或锥体的体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得 求棱长为a的正四面体的体积？ 已知正三棱锥的侧面积是18，高为3，求它的体积？ 若正四棱锥的底面积是S，侧面积是Q，则它的体积为？ 过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为。1719 PABC三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，PA=a,PB=b,PC=c,⊿ABC的面积为S求点P到底面ABC的距离 ABCDPFE已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，求点B到平面PEF的距离？GOH点—线点—面线—面 ABCDPFE已知：ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2，求点B到平面PEF的距离？GV棱锥B-PEFV棱锥P-BEF=S⊿BFE×PC=S⊿PFE×h 斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？ABCA`B`C` 斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？ABCA`B`C` 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5,EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？ABCDEFGHV棱柱BCF-GHEV棱锥E-ADHG=4.5=3多面体ABCDEFV=7.5 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=1.5,EF与面AC的距离为2，求此多面体的体积？=6BCDEFAV棱锥E-ABCDV棱锥F-BCEV棱锥C-BFE==1.5=V棱锥C-AEB=V棱锥E-ABCD ACBA1C1B1正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为4，求四面体ABB1C1的体积 已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？334ABCD 已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？ABCDEV棱锥D-ABCV棱锥D-BCEV棱锥A-BCE=S⊿BCE×ADV棱锥D-ABC 已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积？ABCP 已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积？ABCP解法一EO直接法 已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积？ABCP解法二变换法 已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积？解法三割补法ABCPEF 已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥的体积？解法四ABCPD割补法 几何体问题几何体问题 有关棱锥的概念问题有关棱锥的计算问题有关球的计算问题 PCBDA棱锥基本概念棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的侧棱棱锥的顶点棱锥的高H棱锥的斜高 HPCBDAO棱锥基本性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比C`B`D`A` 棱锥基本性质棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形PCBDAHERt⊿PEHRt⊿PHBRt⊿PEBRt⊿BEH 正棱锥如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥 1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥2、棱锥的高可以等于它的一条侧棱长3、棱锥的高一定在棱锥的内部4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥判断正误 在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置1、三条侧棱相等2、侧棱与底面所成的角相等3、侧面与底面所成的角相等4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直外心外心内心内心垂心垂心垂心 正三棱锥如果一个三棱锥的底面是正三角形，并且顶点在底面的射影是正三角形的中心，这样的三棱锥叫做正三棱锥正四面体ABCD 有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥？有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥？有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥？ 有关棱锥的计算问题 棱锥基本性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形 HOC`B`D`A`PCBDA设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是多少？S中=2 过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积之比（自上而下）为。 过棱锥的高作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是（自上而下）。 正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？PABCDO 正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？PABCDOE 正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？PABDCOEF 正三棱锥的底面边长为a.侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角，求此截面面积？PABCOEF 已知：三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积?DPABCO 连接棱长都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形，求此三角形的面积？PABC 在正四棱锥内有一个内接正方体，这正方体的四个顶点在四棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面上，若棱锥底面边长为a,高为h，求内接正方体的棱长？ABDCOPHEF设内接正方体的棱长为x 在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积？PABC 有关球的问题 球面可看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合 球的大圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 经度纬度经度是指0°经线与另一条经线所在平面所成的二面角的度数纬度是指赤道及一条纬线同一条经线相交所得两个交点与球心的连线所成的角度 球的性质OO`球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆 球的公式球的体积球的表面积 例题选讲球内有相距1cm的两个平行截面的面积分别是5cm2,8cm2,球心不在截面之间，求球的体积OO2O1AB 球的表面积是2500，球内有两个平行截面的面积分别是49、400,求两截面距离OO2O1ABOO2O1AB 将两个半径为1的铁球熔化成一个大球，求大球的半径？ 将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？ 将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？ 求正方体的内切球和它的外接球的表面积之比 求正四面体的内切球和它的外接球的体积之比DABCHO 半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长 谢谢使用！