高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案含解析

考试2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离必备知识·自主学习导思1.怎样求点到直线的距离？2．怎样求两条平行线间的距离？1.点到直线的距离(1)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(2)本质：用代数方法求平面内点到直线的距离． 能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离．2．两条平行直线间的距离(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．(2)公式：直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．(3)本质：用代数方法求平面内两条平行直线间的距离． 直线l1，l2的方程具备什么特征时，才能直接应用公式求距离？-12-/12 考试提示：直线l1，l2的方程必须是一般式，且一次项系数A，B相同．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(  )(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(  )(3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为.(  )提示：(1)×.点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离应为d＝|y0－b|，因为y0与b的大小不确定．(2)√.点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|，式子中加了绝对值，所以正确．(3)×.求两条平行线间的距离必须先把x与y的系数变为相同形式．2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(  )A．1B．C．2D．【解析】选D.d＝＝.3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(  )A．3B．2C．1D．【解析】选C.d＝＝1.4．(教材二次开发：例题改编)若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________.-12-/12 考试【解析】由＝，得m＝－4或m＝0，又因为m0)与x－ny－3＝0平行可得－n＝2即n＝－2，又因为直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x＋2y－3＝0的距离为，所以＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，-12-/12 考试所以m＋n＝2＋＝0.2．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为(  )A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0【解析】选D.因为所求与直线2x＋y＋1＝0的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，所以d＝＝，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.类型三 距离的综合应用(数学运算、直观想象)角度1 计算三角形面积【典例】已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于(  )A．3B．4C．5D．6【思路导引】计算一条边长和这条边上的高，即第三个顶点到这条边的距离．【解析】选C.设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.-12-/12 考试角度2 求直线方程【典例】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．【思路导引】先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，解得c＝7或c＝－5(舍)，所以l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，所以设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.因为正方形中心到四条边的距离相等，所以＝，得a＝9或a＝－3，所以另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.所以另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0. 求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．【解析】由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．因为kOP＝0，所以此时所求直线方程为x＝－1.-12-/12 考试 距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．1．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1