高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 课时作业

高考第二章 2.3 2.3.3、4  请同学们认真完成练案[16]A组·素养自测一、选择题1．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于( C )A．B．－C．－D．[解析]由题意得＝1，解得m＝－．2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于( A )A．B．C．5D．[解析]直线x＋y＋2＝0与x轴的交点是P(－2,0)，点P到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝，即这两条平行线间的距离为．3．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为( B )A．B．C．D．4[解析]BC边所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0；则d＝＝-9-/9 高考．4．(2020·某某高一检测)直线2x＋3y＋1＝0与4x＋my＋7＝0平行，则它们之间的距离为( C )A．4   B．C．D．[解析]由题意，得2m－3×4＝0，∴m＝6．故两直线2x＋3y＋1＝0与4x＋6y＋7＝0的距离d＝＝．5．若点A(－3，－4)、B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( C )A．B．－C．－或－D．或[解析]由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－．二、填空题6．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)·x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为__或__．[解析]∵l1∥l2，∴，解得k＝3或k＝5．-9-/9 高考当k＝3时，l1：y＝－1，l2：y＝，此时l1与l2间的距离为；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2间的距离为＝．7．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__3x－y＋10＝0__．[解析]当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0．8．若A(1,4)、B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d．(1)d的取值X围为__[0,5]__；(2)当d取最大值时，直线l的方程为__4x＋3y＋9＝0__；(3)当d＝4时，直线l的方程为__7x＋24y－3＝0或x＝－3__．[解析](1)用数形结合法容易得到，当直线l⊥AB时，d取最大值，当l经过A、B时，d取最小值，∴0≤d≤5．(2)当d＝5时，kl＝－，kAB＝＝，∴直线l的方程y－1＝－(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0．(3)设l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，由A(1,4)到l距离为4知＝4，∴k＝－，当斜率k不存在时，x＝－3也满足题意．故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0或x＝－3．三、解答题-9-/9 高考9．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0．求m的值，使它分别满足以下条件：(1)l1，l2，l3交于同一点；(2)l1，l2，l3不能围成三角形．[解析](1)由4x＋y－4＝0得y＝－4x＋4代入l2，l3的方程中分别得x1＝，x2＝，由＝，解得m＝－1或，经检验都符合题意．(2)首先由(1)知，当m＝－1或时，不能围成三角形；又kl1＝－4，kl2＝－m，kl3＝，若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；由于kl2与kl3异号，显然l2与l3不平行．综上知，m＝－1，－，或4．10．两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d．(1)求d的变化X围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．[解析]解法一：(1)设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，则，即．而d＝＝，两边平方整理得-9-/9 高考即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，由于k∈R，所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得4d2(d2－90)≤0，∴0＜d≤3．(2)因d＝3时，k＝＝－3，故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．解法二：(1)由图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3最大，当两直线都过A、B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合．∴0＜d≤3．(2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．B组·素养提升一、选择题1．已知点A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，则△ABC的面积等于( C )A．3B．4C．5D．6[解析]设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h．|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0．点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5．2．(多选题)(2020·潍坊高一检测)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( AB )A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋9＝0C．3x－4y＋11＝0D．3x－4y－9＝0[解析]设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，-9-/9 高考解得m＝9或－11．3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程( D )A．x－4y＋4＝0B．7x＋4y＝0C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0[解析]结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得＝，即＝±，化简得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0．4．(2020·高一期末)两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( D )A．4B．C．D．[解析]∵直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，∴＝≠，解得m＝2．因此，两条直线分别为3x＋y－3＝0与6x＋2y＋1＝0，即6x＋2y－6＝0与6x＋2y＋1＝0．∴两条直线之间的距离为d＝＝＝．二、填空题5．(2020·某某省某某市高一期末)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为__x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y-9-/9 高考－6＝0__．[解析]由题意知，若截距为0，则设所求直线l的方程为y＝kx(k≠0)．由题意知＝，解得k＝1或－7，此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0．若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0(a≠0)．由题意知＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．6．(2020·某某省某某市高一期末)过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是__x＝1__．[解析]如图，当过点A的直线恰好与直线AP垂直时，所求直线与点P的距离最大，故所求直线方程为x＝1．7．(2020·某某省某某市岳麓区高三模拟)已知a＋b＝3，则的最小值为__3__．[解析]由题意易得点P(a，b)在直线x＋y－3＝0上，而＝，因此原问题可以转化为求点P(a，b)与点A(－5,2)的距离的最小值，又点A(－5,2)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝3，故的最小值为3．三、解答题-9-/9 高考8．(2020·高一期末)已知△ABC三边所在直线方程：lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30)．(1)判断△ABC的形状；(2)当BC边上的高为1时，求m的值．[解析](1)直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形．(2)解方程组，得，即A(2,6)．由点到直线的距离公式得d＝＝，当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，解得m＝25或m＝35．9．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．[解析]解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1、l2的距离相等，即＝，解得t＝，∴M．又l过点A(2,4)，由两点式得＝，-9-/9 高考即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0．解法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0．由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．解方程组，得．∴M．又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0．解法三：由题意知直线l的斜率必存在，设l：y－4＝k(x－2)，由，得，由，得．∴直线l与l1、l2的交点分别为，．∵M为中点，∴M．又点M在直线x＋y－3＝0上，∴＋－3＝0，解得k＝5．故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0．-9-/9