第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离一、点到平面的距离FEGDCBA设A是平面外一点,B是内一点,为的一个法向量,则点A到平面的距离例1、如图,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC平面ABCD且GC=2,求点B到平面EFG的距离。例2、在三棱锥S-ABC中,是边长为4的正三角NMSCBA形,平面SAC平面ABC,SA=SC=,M、N分别是AB、SB的中点。(04福建)(1)证明ACSB;(2)求二面角N-CM-B的大小;(3)求点B到平面CMN的距离。PFEDCBA练习:已知ABCD是边长为1的正方形,PD平面ABCD且PD=1,E、F分别是AB、BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离。二、异面直线间距离设是异面直线a、b的公垂向量,C为a上任一点,D1DC1CB1BAA1D为b上任一点,则a、b间的距离.例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a.(1)求异面直线BD与B1C间的距离;(2)求异面直线AA1与BD1间的距离。三、证线面平行若a是平面外一直线,所在向量为,是的一个法向量,若,则∥.例4、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点。(1)求证:ACBC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C17
所成角的余弦值。(05北京文)D1DC1CB1BA1A作业:1、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a.(1)求异面直线AA1与B1D1间的距离;(2)求异面直线A1B与B1D1间的距离。AOECB2、如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点。(1)求点O到平面ABC的距离;(2)求异面直线BE与AC所成的角;(3)求二面角E-AB-C的大小。(06江西)3、如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=2C1N.(1)求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值;(2)求点B1到平面AMN的距离。(06湖北文)DPECBA4、如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC.已知求(Ⅰ)异面直线PD与EC的距离;(Ⅱ)二面角E—PC—D的大小.(05重庆文)17
5、如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AD上移动.(1)证明:D1E⊥A1D;(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;ED1DC1CB1BA1A(3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为.6、如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的大小;EFBADC(3)求点D到平面ACE的距离。(05福建)7、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的大小;EGDC1CB1BA1A(2)求点A1到平面AED的距离。(03全国)17