求两条异面直线之间距离的两个公式

求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中  江西 344000）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.1.公式一如图1，、是异面直线，平面，，在内的射影为，设，且与所成的角分别为，，则与之间的距离为ABMNH图1  （1）证明：设与的公垂线为，如图1所示，过作于，由于在平面内的射影为，故平面，在内的射影为.由知.在中……………………………①同理…………………②联立①②解得  （1.1）  （1.2）从而   .即有公式（1）成立.运用公式（1）求与之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出和的值，进而确定公垂线具体位置.2.公式二AMNK图2H如图2，、是异面直线，，于，与，与所成的角分别为，，则与之间的距离为  （2）证明：过作，设由与确定的平面为，为与公垂线，如图2所示.过作于，连，易知 ，为矩形.在中，由于，故平面，从而.，代入上式并解出就是公式（2）.另外，，将（2）代入得 （2.1）又，将上式代入得 （2.2）公式（1）（2）可以帮助我们定量地确定公垂线的位置.3.公式的应用A图3BCDSGFEO【例1】四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，分别是的中点，求异面直线与的距离，并确定公垂线的位置.【解】取的中点，连、，设，因底面，易知面，在底面内的射影为，，，代入公式（1）可得与的距离.设与的公垂线为，其中，将与的值代入公式（1.1）和（1.2）可分别求得，，而 ，故有，由此不难作出公垂线.【例2】如图4，是直三棱柱，其中，，，，求异面直线与的距离，并确定公垂线的位置.ABC图4【解】连，则，，，与所成的角是，设为，则又与所成的角为，设为，则.根据公式（2），与的距离为.设与的公垂线为，，易知分别在射线上，且，， 而，故有，由此不难确定公垂线的位置.