再探到两条异面直线的距离相等的点的轨迹

万方数据38上海中学数学·2015年第9期再探到两条异面直线的距离相等的点的轨迹*310023卢东波在空间到两条平行直线等距离的点的集合是一个平面；在空间到两条相交直线等距离的点的集合是两个互相垂直的平面；但是在空间到两条异面直线等距离的点的集合是什么呢?文[1]从立体几何的角度出发对此进行了深入的探究，而笔者想从一个作业题开始，从空间解析几何的角度来研究到两条异面直线距离相等的点的轨迹．借助于Math—ematica强大的功能，可以直观地了解图形的形状．问题1(2009湖南)正方体ABCD-A7B7C7D7的棱上到异面直线AB，CC7的距离相等的点的个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个从棱上看，不难得出答案为4个，分别是B7，D，BC中点，A7D7中点．然而，若点不在棱上，又有几个呢?问题2如图1，在正方体ABCD-A7B7C7D7中，到AD所在直线与C7D7所在直线的距离相等的点有()A．2个B．3个C．4个D．无数个FA图1B图2除棱上4点之外还有更多的点吗?答案当然是肯定的．如图2，连接A7C，在A7C上任取一点，做P到AD的距离PE，P到C7D7的距离PF；由勾股定理易得PE=PF；如此一来，本题答案为无数个．进一步还可以证明DD7的中点与BB7的中点连线上的点到两条异面直线距离相等．然而，到两条异面直线距离相等的点的轨迹是什么呢?是一条直线和一些孤立的点?还是几条直线?带着这样的思考，可以利用空间直角坐标系来探究到两条异面直线距离相等的点的轨迹方程．成果．一、简单情形：两条异面直线m。n互相垂直。两异面直线的距离为口如图3，先做出两条异面直线的公垂线，以直线m为．r轴，公垂线与．r轴交点为原点，公垂线所在直线为2轴，过z且垂直于公垂线的平面为xOy平面，建立空间直角坐标系．设点P(x，Y，2)，则图3P到直线m的距离是PAl一饥瓦酽干阿=以弭可．P到直线行的距离是jPBJ=~／JPRI2+JRBI2一~／，+(口一z)2．所以~／y2+z2一正2+(口一2)2．化简得z：．下r2_y2-t-a2，2(z一导)：￡一芝．把图像沿z轴的负方向平移等个单位长度可得～2．．2双曲抛物面的标准方程2z=￡一生．“Ⅱ这个方程所表示的曲面叫做双曲抛物面(也叫做马鞍面)．图4为口=1时方程的图像；双曲抛物面被xOy坐一：、标面截得的曲线方程为fz=O(1)‘lT2一v2=0(2)’如图5，这是一对相交于原点的直线．在正方体问题中其中一条即为正方体对棱中点的连线．图4双曲抛物面被平行于z09坐标面截得的曲线方程为爱y：铋出如图6，这是一条双曲线．被蛾_。{y--022譬*本文系浙江省教研室2014年度教研重点课题“深化课改背景下教研组建设的实践与研究”(14A131)的阶段性研究 万方数据上海中学数学·2015年第9期39毋：毋如图7，这是一条抛物线．被蛾坐标面截得的曲线方程为{暑2z罢如图8，这也是一条抛物线．这两条抛物线有着相同的顶点与相同的对称轴，即z轴，但开口方向相反．而正方体问题中对角线所在的直线A7C为双曲抛物面的一条母线．图8二、一般情形：两条异面直线m，n的夹角为口，两条异面直线的距离为n。如图9，先做出两条异面直线的公垂线，以直线m为z轴，公垂线与z轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过z且垂直于公垂线的平面为xOy平面，建立空间直角坐标系．直线竹在xOy面上的投影图9OM经过一、三象限，因为m，7z的夹角为0，所以／AOM=O．P到直线m的距离是IPAI=~／】PQI2+IQAl2一、?甘七叠．P到直线7z的距离是IPBI一~／IPRI2+tRBI2一~／IQMl2+IRBI2．如图10，在xoy平面内，直线OM的方程为Y一是∞志一tanO，Q点坐标为(z，Y)，IQMl一|y一是zl、嘶j所以IPBI一~／IQMl2+lRB2一√(涮)2+(⋯n一一肥薷眄，化简得z一竺￡云等铲+号，走一ta的．当口一1，_--60。时图像如图1l所示，也是一个双曲抛物面．更进一步，通过适当的坐标变换也可以把它化为标准方程：2(z一号)=垡!二装；i篙丰旦竺，f口f叫一2一虿令{s：志．r—v，原方程可以化为2w2．．：．一【f一~／忌2+1yc2f2—万÷了-灭一—万j-了—灭，志一tanO．n(1+志2)口(1+志2)’“’综上所述，在空间中到两异面直线距离相等的点的集合为双曲抛物面．用平行于坐标平面的平面去截这个抛物面可以得到双曲线、抛物线．利用这一点，可以解决正方体中的许多问题．例如：1．正方体ABCD-A。B。C。D。中，侧面AB。内有一动点P到直线A。B。与直线BC的距离相等，则动点P的轨迹为一段()A．圆弧B．双曲线弧C．抛物线弧D．椭圆弧2．与正方体ABCDA。B。C。D。的三条棱AB、CC。、A。D。所在直线的距离相等的点有()A．2个B．3个C．4个D．无数个希望上述讨论能使读者对到两异面直线等距离的点有进一步的认识，对到两直线距离相等的点的轨迹有一个完整的、系统的了解．参考文献[1]翁玉中．谈谈到两异面直线的距离相等的点的集合FJ]．数学通讯，2004，5．[2]同济大学应用数学系编．高等数学(第六版)(下册)[M]．北京：高等教育出版社，2007．