人教版高中数学选择性必修第一册3.1.2《椭圆的简单几何性质（1）》导学案(含答案)

3.1.2椭圆的简单几何性质（1）导学案1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形．2．根据几何条件求出椭圆的方程．重点：由几何条件求出椭圆的方程难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长为2a,短轴长为2b焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c对称性对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点离心率 1.判断(1)椭圆=1(a>b>0)的长轴长是a.(  )(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为=1.(  )(3)设F为椭圆=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).(  )2.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(  )A.    B.    C.    D.一、情境导学与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。观察椭圆（>>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 思考1.离心率对椭圆扁圆程度的影响?提示:如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为     . 典例解析 变式1若例2改为如下:椭圆=1(a>b>0)的两焦点F1,F2,以F1F2为底边作等腰直角三角形,其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为     . 例3已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为     . 求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=求解.(2)几何法:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质,再借助a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=即可得到.跟踪训练2(1)已知椭圆=1(a>b>0)过点(1,),其离心率的取值范围是,则椭圆短轴长的最大值是(  )A.4B.3C.D.2(2)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为     . (3)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,求椭圆C的离心率. 1.已知点(3,2)在椭圆=1上,则(  )A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上2.设AB是椭圆=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是(  )A.98aB.99aC.100aD.101a3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.4.已知椭圆=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为     . 5.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为     cm. 6.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 参考答案：知识梳理1.答案:(1)× (2)× (3)√2.解析:∵a2=4+22=8,∴a=2.∴e=.故选C.答案:C学习过程例1解:(1)由椭圆C1:=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=.(2)椭圆C2:=1.性质如下:①范围:-8≤x≤8且-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=.跟踪训练1解:由已知得=1(m>0),因为00,∴m>.∴a2=m,b2=,c=.由e=,得,∴m=1.∴椭圆的标准方程为x2+=1.∴a=1,b=,c=.∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),.