人教版高中数学选择性必修第一册3.2.2《双曲线的简单几何性质（1）》导学案(含答案)

3.2.2双曲线的简单几何性质(1)导学案1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.根据几何条件求双曲线的标准方程.重点：运用双曲线的方程获得几何性质难点：双曲线的渐近线及离心率的意义双曲线的几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±y=±离心率 a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>100)的形状相同.(  )(2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同.(  )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.(  )2.圆锥曲线=1的离心率e=2,则实数m的值为(  )A.-5   B.-35C.19D.-11一、问题导学类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线(>0，>0)，的哪些几何性质，如何研究这些性质？1、范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程可得于是，双曲线上点的坐标（，）都适合不等式，所以或;2、对称性(>0，>0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.顶点是（2）如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 4、渐近线（1）双曲线(>0，>0)，的渐近线方程为：（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近5、离心率（1）定义：e= （2）e的范围：e>1（3）e的含义：因为另外，注意到=；说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.如果双曲线C的标准方程是(>0，>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在轴上的双曲线是有区别的？一、典例解析例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.例2根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-),离心率为;(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2). 2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b20)化为标准方程为=1(m>0,n>0),由此可知,半实轴长a=,半虚轴长b=,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e=,顶点坐标为(-,0),(,0),所以渐近线方程为y=±x,即y=±x.例2解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),∵e=,∴=2,即a2=b2.①又双曲线过P(3,-),∴=1,② 由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),同理有a2=b2,③=1,④由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1.(2)由椭圆方程=1,知半焦距为,∴焦点是F1(-,0),F2(,0).因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由已知条件,有解得∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.(3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为=1. 跟踪训练2解:(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=,从而b=4,c=a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为=1.(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.达标检测1.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m