新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 导学案

2.3.1两直线的交点坐标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系一、自主导学两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组的解.2.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.二、小试牛刀1.直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(  )A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1) 一、问题导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。二、典例解析例1.直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程．求过两直线交点的直线方程的方法(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.(2)过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2).跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.跟踪训练2已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是     .  例3(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.利用直线系方程求直线的方程经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.跟踪训练3已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(  )A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0例4光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.点关于直线的对称点的求法点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系解方程组可得点P0的坐标.跟踪训练4直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点 C的坐标.金题典例过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是(  )A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10)D.(9,-10)2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(  )A.-24B.24C.6D.±63.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为      . 4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.5．已知两直线l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.(1)求l1与l2的交点坐标；(2)求过l1与l2交点且与直线x＋y＋1＝0平行的直线方程.参考答案：知识梳理二、小试牛刀 1.解析:解方程组因此交点坐标为(4,1).答案:B学习过程例1.[解] 法一：联立方程解得即直线l过点(－1,3)．因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，所以＝≠，解得λ＝，所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.跟踪训练1．[解] 解方程组得所以两条直线的交点坐标为(4,－2)．由题意知点(4,－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4,－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－.例2.思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.解:(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组有无数个解,这表明直线l1和l2重合. (3)方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.跟踪训练2解析:由由∴-