2.3.3点到直线的距离公式本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习点到直线的距离公式。在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了“以数论形，以形辅数”的数学思想方法．“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；《点到直线的距离》的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．课程目标素养A.会用向量工具推导点到直线的距离公式.B.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.C.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：点到直线的距离公式2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导3.数学运算：点到直线的距离公式的运用4.直观想象：几何中的距离问题重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用．难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析．多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标
一、情境导学在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?二、探究新知思考：最容易想到的方法是什么？思路①.定义法,其步骤为：①求l的垂线lPQ的方程；②解方程组；③得交点Q的坐标；④求|PQ|的长反思：这种解法的优缺点是什么？我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点，是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量,=。思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？通过生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
设直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把,两式相减，得，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取，从而==因为点在直线l上所以代入上式，得=因此=思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？1.点到直线的距离通过不同方法推导点到直线的距离公式，体会算法的多样性，同时比较不同推导方法，比较算法的优劣，优化思维品质，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:(3)公式:d=.点睛：(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.1.判断对错：点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( )答案:×2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )A. B. C. D.答案:C解析:由点到直线的距离公式可得.3.你能说出代数式的几何意义吗?提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线x+y+1=0的距离.三、典例解析例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会点到直线距离公式的初步应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
[解] (1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝.(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．跟踪训练1已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.,解得k=-,此时l的方程为y-2=-(x+1),(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.直线l的斜率为kl,则kAB=kl==-,此时直线l的方程为y-2=-(x+1),点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.延伸探究若将本题改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为 . 解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5=0易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错案例求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.所以原点到该直线的距离d==3.所以15k+8=0.所以k=-.故直线l的方程为-x-y+3×+5=0,错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得
kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.所以原点到该直线的距离d==3.所以15k+8=0.所以k=-.故所求直线方程为y-5=-(x+3),点睛:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.三、达标检测1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( )A.B.C.3D.2解析:d==2,故选D.答案:D2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )A.B.-C.-或-D.-解析:由点到直线的距离公式可得,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-或-.故选C.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
答案:C3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 . 解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,直线MP的方程为y-1=-(x-2),解方程组∴所求点的坐标为(5,-3).答案:(5,-3)4.已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.【解析】由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0，由两点间距离公式得|BC|＝，点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝，所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，即△ABC的面积为4.5.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
得,解得k=0或k=1.(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),∴直线l的方程是x-y+2=0.当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.四、小结1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。点到直线距离公式的推导，注意利用解析法推导公式时，由于字母较多，用运算量大，在具体的运算过程中学生容易产生畏难情绪，半途而废；采取课前预习，小组讨论，学生展示等手段加以突破．对于几何法中的构造直角三角形学生感到比较困难；采取利用复习两点间距离公式的推导复习，利用类比教学法加以突破；对于几向量法学生不容易想到，采取启导法，小组讨论法，让学生领会“设点不求点”的解题思路．
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