新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 教学设计

2.3.1两直线的交点坐标本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两直线的交点坐标从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.课程目标素养A.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；B.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系；C.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.1.数学抽象：两直线交点和二元一次方程组的联系2.逻辑推理：方程组解的个数判定两条直线的位置关系3.数学运算：解方程组求两条相交直线的交点坐标4.直观想象：直线与方程的关系重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。二、探究新知两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组的解.2.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.通过直线与二元一次方程的关系，提出运用方程研究直线位置关系得问题，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。 1.直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是(  )A.(1,2)B.(4,1)C.(3,2)D.(2,1)解析:解方程组因此交点坐标为(4,1).答案:B三、典例解析例1.直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程．[解] 法一：联立方程解得即直线l过点(－1,3)．因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，所以＝≠，解得λ＝，所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.求过两直线交点的直线方程的方法(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.(2)过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2).跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．[解] 解方程组得理解运用解方程组，求解直线交点坐标的方法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 所以两条直线的交点坐标为(4,－2)．由题意知点(4,－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4,－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a＝－.例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.解:(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组有无数个解,这表明直线l1和l2重合.(3)方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.跟踪训练2已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是     . 解析:由由∴-