高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 课件

人教2019A版选择性必修一第二章直线和圆的方程 1.会用向量工具推导点到直线的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.3.通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力学习目标 在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?情境导学 反思：这种解法的优缺点是什么？思考：最容易想到的方法是什么？思路①.定义法,其步骤为：求l的垂线lPQ的方程解方程组，得交点Q的坐标求|PQ|的长新知探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？ 思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？问题探究 1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:点睛：(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.公式解析 2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()小试牛刀答案:×答案:C 典例解析 归纳总结 跟踪训练1已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.跟踪训练 (方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意. 延伸探究若将本题改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为.解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5=0 易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错案例求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.金题典例错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况. 正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.点睛:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解. 1.点(1,-1)到直线y=1的距离是()答案:D当堂检测 2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()答案:C 3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是.答案:(5,-3)解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小, 解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.5.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程. (方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),∴直线l的方程是x-y+2=0.当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2. 课堂小结1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.