第一章§1.2空间向量基本定理
1.会用基底法表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.a＝λbp＝xa＋yb
思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？答案平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.
知识点二 求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝.(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔.a·b＝0思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？答案几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.
知识点三 求距离(长度)问题思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？答案几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√
2题型探究PARTTWO
一、证明平行、共面问题例1如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点.求证：BF∥ED′.∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
反思感悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.所以A，E，C1，F四点共面.
二、求夹角、证明垂直问题例2如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点.(1)证明：AE⊥BC；又DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.
反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
跟踪训练2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
三、求距离(长度)问题例3已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则CD＝________.26
解析∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴CD＝26.
反思感悟求距离(长度)问题的思路选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题.
√
3随堂演练PARTTHREE
1.(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是√√因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,由上可知，BD满足要求.12345
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定√12345同理，C，D均为锐角.
A.90°B.60°C.45°D.30°√12345
解析因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以SC与AB所成角的大小为60°.12345
4.如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________.123457∴PC＝7.
5.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝_____.12345
1.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件.(3)向量的数量积及应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
√基础巩固12345678910111213141516
2.如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形√12345678910111213141516
所以四边形PQRS为平行四边形.所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形.12345678910111213141516
3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是√解析根据题意可得，12345678910111213141516
4.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是A.60°B.75°C.90°D.105°√＝a·b＋b·c－a·c－c2∴CA1与C1B所成的角的大小是90°.12345678910111213141516
5.如图，二面角α－l－β等于，A，B是棱l上两点，BD,AC分别在平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于12345678910111213141516√
12345678910111213141516
6.已知向量a，b满足条件|a|＝，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则实数λ＝_____.解析因为m·n＝0，所以(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，12345678910111213141516
设直线AB与CD所成角为α，12345678910111213141516
8.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________.12345678910111213141516
解如图，连接AC，EF，D1F，BD1，12345678910111213141516
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10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.12345678910111213141516
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综合运用A.－3B.－1C.1D.3√解析连接AG(图略)，12345678910111213141516
12.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是A.30°B.45°C.90°D.60°√解析因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，设所求异面直线的夹角为θ，则12345678910111213141516
13.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______.90°12345678910111213141516
14.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________.(填序号)12345678910111213141516①②
解析以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，12345678910111213141516
所以②正确.显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.则③不正确.12345678910111213141516
所以④不正确，故①②正确.12345678910111213141516
15.(多选)在四面体P－ABC中，以上说法正确的有√12345678910111213141516拓广探究√√
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16.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：B1O⊥平面PAC.12345678910111213141516
证明如图，连接BD，则BD过点O，12345678910111213141516
又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，∴OB1⊥平面PAC.12345678910111213141516
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