第一章1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
理解直线的方向向量与平面的法向量,会求一个平面的法向量.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 空间中点的位置向量如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
知识点二 空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a,且过点A.如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
思考直线的方向向量是不是唯一的?答案直线的方向向量不是唯一的,它们都是共线向量.解题时,可以选取坐标最简的方向向量.
知识点三 空间中平面的向量表示式1.平面ABC的向量表示式我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.2.平面的法向量如图,若直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称a为平面α的法向量;过点A且以a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
思考平面的法向量是不是唯一的?答案一个平面的法向量不是唯一的,一个平面的所有法向量共线.在应用时,可以根据需要进行选取.
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.()2.平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量.()3.直线的方向向量是唯一的.()√××
2题型探究PARTTWO
一、直线的方向向量例1(1)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z等于√∴-1=2k,2-y=-k,z-3=3k.∴y-z=0.
(2)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为_____________,直线BC1的一个方向向量为________.(不唯一)(0,0,1)(0,1,1)直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
反思感悟理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.(2)直线的方向向量不唯一.
跟踪训练1(1)(多选)若M(1,0,-1),N(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是A.(2,2,6)B.(1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,1)√√故向量(1,1,3),(2,2,6)都是直线l的一个方向向量.
(2)从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则B点的坐标为√即(x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),所以x=18,y=17,z=-17.
二、求平面的法向量例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
解因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
延伸探究本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量?
解如图所示,建立空间直角坐标系,即直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z).
反思感悟求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC的法向量时,要选取平面内两不共线向量,如;(2)设平面的法向量为n=(x,y,z);(3)联立方程组并求解;(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
跟踪训练2已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),试求出平面ABC的一个法向量.解设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).∵A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),故平面ABC的一个法向量为n=(3,3,1).
3随堂演练PARTTHREE
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)√12345
2.已知直线l1的方向向量a=(2,-3,5),直线l2的方向向量b=(-4,x,y),若a∥b,则x,y的值分别是A.6和-10B.-6和10C.-6和-10D.6和10√12345所以x,y的值分别是6和-10.
3.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1)√12345解析求与n共线的一个向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
4.(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是√12345√
5.已知平面α经过点O(0,0,0),且e=(1,2,-3)是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是________________.12345x+2y-3z=0故x+2y-3z=0.
1.知识清单:(1)直线的方向向量.(2)平面的法向量.2.方法归纳:待定系数法.3.常见误区:不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是A.-1B.1或-1C.-3D.1√基础巩固12345678910111213141516
2.已知平面α的一个法向量是(2,-1,-1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是A.(4,2,-2)B.(2,0,4)C.(2,-1,-5)D.(4,-2,-2)√12345678910111213141516解析∵α∥β,∴β的法向量与α的法向量平行,又∵(4,-2,-2)=2(2,-1,-1),故选D.
解析∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,∴BD⊥平面PAC,∴PC⊥BD.故选项B成立,选项A和D显然成立.故选C.√12345678910111213141516
4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是A.(1,1,-1)B.(1,-1,1)C.(-1,1,1)D.(-1,-1,-1)√12345678910111213141516取x=-1,则y=-1,z=-1.故平面ABC的一个法向量是(-1,-1,-1).
5.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,下列结论正确的是A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)√12345678910111213141516√
又AB∩AA1=A,∴AD⊥平面ABB1A1,∴A正确;∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量,∴B不正确;∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量,∴C正确;∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量,即D不正确.12345678910111213141516
6.已知平面ABC,且A(1,2,-1),B(2,0,-1),C(3,-2,1),则平面ABC的一个法向量为__________________.12345678910111213141516(2,1,0)(答案不唯一)令y=1,得x=2,z=0,故平面ABC的一个法向量为n=(2,1,0).
7.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π],若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为______.即(2cosx+1)·cosx+(2cos2x+2)·(-1)=0.∵x∈[0,π],12345678910111213141516
8.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是________.(填序号)12345678910111213141516①②③
12345678910111213141516
解∵B(2,0,0),C(0,2,-2),9.已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).(1)写出直线BC的一个方向向量;12345678910111213141516
(2)设平面α经过点A,且BC是α的法向量,M(x,y,z)是平面α内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.12345678910111213141516∴(-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0.∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.化简得x-y+z-2=0.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证:是平面A1D1F的法向量.12345678910111213141516
证明设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,又A1D1∩D1F=D1,∴AE⊥平面A1D1F,12345678910111213141516
11.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交12345678910111213141516综合运用√所以AB∥平面yOz.
12.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是√12345678910111213141516
解析要判断点P是否在平面α内,12345678910111213141516因此,要对各个选项进行检验.同理可排除C,D.故选B.
把选项代入验证,只有选项D不满足,故选D.13.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是√12345678910111213141516
123456789101112131415162∶3∶(-4)
∵a是平面α的一个法向量,12345678910111213141516
12345678910111213141516拓广探究①②③
12345678910111213141516∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确.
16.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.12345678910111213141516
解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,12345678910111213141516设n=(x,y,z)为平面SDC的一个法向量,
取x=2,得y=-1,z=1,故平面SDC的一个法向量为(2,-1,1).12345678910111213141516