第一章§1.2空间向量基本定理
1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a,b,c,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=.我们把{a,b,c}叫做空间的一个,a,b,c都叫做基向量.不共面xa+yb+zc基底
思考零向量能否作为基向量?答案不能.零向量与任意两个向量a,b都共面.
知识点二 空间向量的正交分解1.单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量,且长度都是,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.2.向量的正交分解由空间向量基本定理可知,对空间任一向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.两两垂直1
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.()2.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.()3.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线.()4.对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(x,y,z),使0=xa1+ya2+za3.()×√√×
2题型探究PARTTWO
一、空间的基底
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3,∵e1,e2,e3不共面,
反思感悟基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以作为一个基底.(2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{b,c,z},③{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有A.1个B.2个C.3个D.0个√解析因为x=a+b,所以向量x,a,b共面.如图,可知向量b,c,z和x,y,a+b+c不共面,故选B.
(2)已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x+y=_____.0解析因为m与n共线,所以xa+yb+c=z(a-b+c).所以x+y=0.
二、空间向量基本定理
解连接A′N(图略).
延伸探究解因为M为BC′的中点,N为B′C′的中点,
反思感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
解连接BO,
3随堂演练PARTTHREE
1.下列结论错误的是A.三个非零向量能构成空间的一个基底,则它们不共面B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底√解析由基底的概念可知A,B,D正确,对于C,因为满足c=λa+μb,所以a,b,c共面,不能构成基底,故错误.12345
2.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是A.3a,a-b,a+2bB.2b,b-2a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c√12345解析对于A,有3a=2(a-b)+a+2b,则3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底;同理可判断B,D中的向量共面.故选C.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间一个基底的是√12345解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间的一个基底.
√12345
12345
12345
1.知识清单:(1)空间的基底.(2)空间向量基本定理.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:(1)基向量理解错误,没有注意到基向量的条件.(2)运算错误:利用基底表示向量时计算要细心.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件√基础巩固12345678910111213141516解析当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底,当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此p⇏q,q⇒p.
√12345678910111213141516
√12345678910111213141516
4.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若p=a+b,q=a-b,则A.a,p,q是空间的一组基底B.b,p,q是空间的一组基底C.c,p,q是空间的一组基底D.p,q与a,b,c中的任何一个都不能构成空间的一组基底√解析假设c=k1p+k2q,即c=k1(a+b)+k2(a-b),得(k1+k2)a+(k1-k2)b-c=0,这与{a,b,c}是空间的一个基底矛盾,故c,p,q是空间的一组基底,故选C.12345678910111213141516
√12345678910111213141516
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√综合运用12345678910111213141516
解析取PC的中点E,连接NE,12345678910111213141516
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解析如图所示,取BC的中点G,连接EG,FG,123456789101112131415163a+3b-5c
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√12345678910111213141516拓广探究
解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则点E为BC的中点,12345678910111213141516
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