人教版高中数学选择性必修第一册第2章习题课件：《微专题2对称问题》(含答案)

第二章直线和圆的方程 在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称.在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型. 一、几类常见的对称问题例1已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；解设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，∴P′点坐标为(－2,7). (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.解在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4).因为点E′，F′在所求直线上，即3x－y－17＝0. 反思感悟对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y).(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 二、对称问题的应用例2已知A(4,1)，B(0,4)两点，在直线l：3x－y－1＝0上找一点M，使得||MA|－|MB||的值最大，并求此时点M的坐标及最大值. 解设B(0,4)关于直线l：3x－y－1＝0的对称点为B′(x0，y0)，所以B′(3,3).设M′为l：3x－y－1＝0上任意一点，则有||M′A|－|M′B′||≤|AB′|，当且仅当M′，B′，A三点共线时，上式等号成立，此时||M′A|－|M′B′||取得最大值|AB′|，即||M′A|－|M′B||取得最大值|AB′|， 所以直线AB′与直线l的交点为M(2,5). 例3如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 解设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得∴A的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3. 由于反射光线为射线，由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.