第三章3.1.2椭圆的简单几何性质
1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点 直线与椭圆的位置关系
消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点解Δ0一个公共点解Δ0没有公共点解Δ0两一无>＝< 1.直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.无法确定预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN√因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交. √ 设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 3.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝_____. 2题型探究PARTTWO 一、实际生活中的椭圆例1(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是A.a1＋c1＝a2＋c2B.a1－c1＝a2－c2√√ 解析由图可知，a1>a2，c1>c2所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
反思感悟解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.(3)用解得的结果说明原来的实际问题.
跟踪训练1某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是____米.32解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米.
二、直线与椭圆命题角度1直线与椭圆的位置关系(1)有两个不同的公共点；
解直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点；这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)没有公共点？可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
命题角度2弦长问题(1)试求动点P的轨迹方程C；解设动点P的坐标是(x，y)，
(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程.
解设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，Δ＝16k2>0，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).∴k＝±1，经检验符合题意.∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
反思感悟求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长.(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.
跟踪训练3已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.
解设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
3随堂演练PARTTHREE
解析最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.√12345
2.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.相交或相切√12345∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－640，所以直线与椭圆相交.12345678910111213141516
√√由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，12345678910111213141516
√12345678910111213141516
A.m>1B.m>0C.00，设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，12345678910111213141516
方法二根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，12345678910111213141516
15.已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为12345678910111213141516拓广探究√
解析假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a－c)；(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a＋c)；(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a.综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c).12345678910111213141516
12345678910111213141516
(1)求椭圆C的方程；解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，12345678910111213141516
12345678910111213141516
解显然直线AB的斜率不为0，设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，12345678910111213141516
解得t2＝1，∴直线方程为x＝±y－1，即y＝x＋1或y＝－x－1.12345678910111213141516
微信/支付宝扫码支付