第三章3.3.2抛物线的简单几何性质
1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.2.解决一些抛物线的综合问题．学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程.
知识点二 直线和抛物线1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.2.抛物线的焦点弦过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则②|AB|＝；x1＋x2＋p
1.若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN√
解析方法一设动点P的坐标为(x，y).整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线.方法二显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
2.已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为A.x2＝－12yB.x2＝12yC.y2＝12xD.y2＝－12x√解析设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
3.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于A.5B.6C.8D.10√解析由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
4.P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有√
解析如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
2题型探究PARTTWO
一、和抛物线有关的轨迹问题(1)求点P的轨迹方程；解过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝，求实数k的值.解由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程.
跟踪训练1若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
解设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.所以|MC|＝d＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，故其方程为y2＝8x.
二、抛物线的综合问题例2如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值；解依题意，设AB的方程为x＝my＋2，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值.
证明设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
反思感悟解决抛物线综合问题的基本策略对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论.
跟踪训练2(1)已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为____.解析设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
(2)已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.①求动点P的轨迹C的方程；解依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
②设斜率为－1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，因此k1＋k2＝0.
核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG与抛物线有关的最值问题典例求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
解方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，
素养提升求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力.
3随堂演练PARTTHREE
1.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线√12345解析依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为A.y2＝12xB.y2＝－12xC.x2＝12yD.x2＝12y√解析设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.12345
3.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于A.30°B.45°C.60°D.90°√12345解析由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
4.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.12345(4,2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2).
y2＝4x即点N的轨迹方程是y2＝4x.12345
1.知识清单：(1)和抛物线有关的轨迹问题.(2)抛物线的综合问题.2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆√基础巩固12345678910111213141516解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线.
2.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A.x＝1B.x＝－1C.x＝2D.x＝－2√12345678910111213141516
得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.12345678910111213141516
3.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋＋3的最小值是A.2B.3C.4D.0√12345678910111213141516解析因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，所以当x＝0时，z最小，最小值为3.
4.(多选)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于A.2B.－2C.－4D.4√√∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，∴x0＝±4.12345678910111213141516
5.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为√12345678910111213141516
12345678910111213141516
12345678910111213141516＝2p2＝16，
6.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.12345678910111213141516
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝4，∵A，B在抛物线上，7.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为____.12345678910111213141516
123456789101112131415163
解析设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516解得x0＝3.
9.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程.12345678910111213141516
解方法一设点M的坐标为(x，y)，易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，化简得曲线C1的方程为y2＝20x.方法二由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”.所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.12345678910111213141516
10.已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点.12345678910111213141516
则直线OA的方程为y＝kx，同理可得B(－8k2,8k)，因此直线AB经过定点(－8,0).12345678910111213141516
11.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为√12345678910111213141516综合运用
12345678910111213141516设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
12345678910111213141516√
解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.12345678910111213141516
12345678910111213141516|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.∴△MNF是边长为4的等边三角形.
√12345678910111213141516
因为y1y20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝8.12345678910111213141516
√12345678910111213141516拓广探究
消去x可得y2－6my－6n＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n，12345678910111213141516
16.已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；12345678910111213141516解由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值.12345678910111213141516
证明由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，已知此方程一个根为1，12345678910111213141516
∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]所以，直线AB的斜率为定值－1.12345678910111213141516
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