人教版高中数学选择性必修第一册提高练习1.4.2《用空间向量研究距离、夹角问题(2)》（解析版）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)-B提高练一、选择题1．（2020台州市书生中学高二期末）在棱长为3的正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】如图建立空间直角坐标系，则知，，，，所以，，所以.2．（2020山东莱芜市一中高二月考）在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（） A．B．C．D．【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为则令可得，所以设直线与平面所成角为，，故选：B3．（2020高二）如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（） A．0B．C．D．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在正方体中,点E为线段的中点，设正方体棱长为2，则，,设，，设异面直线与的夹角为，则,异面直线与所成角最小时，则最大，即时，.故选：C.4．（2020浙江衢州二中高二理）正三棱锥中，，M为棱PA上的动点，令为BM与AC所成的角，为BM与底面ABC所成的角，为二面角所成的角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正三棱锥的底面边长为6，高为，如图所示建立空间直角坐标系，不妨令为 的中点，则，，，，，，，，，，所以，过作交于点，所以，即为BM与底面ABC所成的角，所以，所以，所以显然面的法向量可为，设面的法向量为，所以令，则，，即，所以，当时，；当时，；当时，，故CD不成立；故选：B5．（多选题）（2020福建高二期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（） A．B．平面平面C．面AEFD．二面角的大小为【答案】BC【解析】解：由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，则不垂直于，则选项不正确；连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，可知，所以平面，则平面平面，所以选项正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，则各点坐标如下：，设平面的法向量为，则，即，令，得，得平面的法向量为，所以，所以平面，则选项正确；由图可知，平面，所以是平面的法向量，则.得知二面角的大小不是，所以不正确.故选：BC.6.（多选题）（2020苏州大学附中学高二月考）如图，在棱长为1的正方体中， 分别为棱的中点.为面对角线上任一点，则下列说法正确的是（）A．平面内存在直线与平行B．平面截正方体所得截面面积为C．直线和所成角可能为60°D．直线和所成角可能为30°【答案】BC【解析】对于选项A，在正方体中，，在平面中，直线相交，所以直线与平面相交，故直线与平面相交，则平面不存在直线与平行，所以选项A错误；对于选项B，连接分别为棱的中点，所以，在正方体中，，所以，连，则梯形为所求的截面，，所以等腰梯形的高为，所以梯形的面积为，选项B正确；对于选项C,D，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，，，，令 ，，，，而，直线和所成角可能为60°，但不可能为30°，选项C正确，选项D错误.故选：BC.二、填空题7．（2020·山东省高二期末）如图，在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角为______；二面角的余弦值是______.【答案】；【解析】解：直三棱柱中，，，，如图以为坐标原点，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系，则，，,，，,，，所以异面直线与所成角为；设平面的法向量为则即令，则 显然平面的一个法向量为，故二面角的余弦值是故答案为：；8.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=　　　　　. 【答案】.【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则即3x=4y=az,取z=1,则x=,y=,∴m=.由题意得|cos|=.又因为a>0,所以a=.9．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．【答案】4【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，故，， ，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．10．（2020江西上饶中学高二期中）如图，在四面体中，，.若为线段上的动点（不包含端点），则二面角的余弦值取值范围是__________．【答案】【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，则，令，所以平面的一个法向量为，所以，因为，所以，所以， 所以，即二面角的余弦值的取值范围是.三、解答题11．（2020·江苏省西亭高级中学高二）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，，，.（1）求异面直线BC，DF所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.【解析】因为四边形为正方形，所以平面又所以，在平面内作，垂足为点O，以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图所示）.设OF=a，因为所以（1）点D的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为点C的坐标为.则，设向量的夹角为，则，所以异面直线BC，DF所成角为（3）点E的坐标为， 设平面DBE的法向量为，由得，取得平面DBE的一个法向量为，设平面CBE的法向量为，由得，取得平面DBE的一个法向量为，设两个法向量的夹角为，则由于二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=,BC=2,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°?如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).∵点N为PC的中点,∴N(0,0,1),∴=(1,0,1).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由=(0,0,2),=(2,0,0),可得n=(0,1,0),∴·n=0.又∵DN⊄平面PAB,∴DN∥平面PAB. (2)由(1)知=(0,2,0),=(-1,1,-2).设直线AC与PD所成的角为θ,则cosθ=.(3)存在.设M(x,y,z),且=λ,0