人教版高中数学选择性必修第一册提高练习1.2《空间向量基本定理》（解析版）

1.2空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知，则；②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；④若共线，则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于①，若，则，故，故①正确；对于②，若不构成空间的一个基底，这3个向量共线面，故共面，故②正确；对于③，当时，若与不共面，则可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确.2.若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（） A．B．C．D．【答案】C【解析】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，D：因为，所以向量是共面向量，因此不能构成一组基底.故选：C3.已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,,故选：C． 4.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,)=-2),-2).因为=3=3(),所以OG=OG1.则)=.5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；B.若非零向量，，满足，，则有；C.若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；D.若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.【答案】ACD【解析】对于A：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故A正确；对于B：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故B错误；对于C：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，，，四点共面，故C正确；对于D：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组，使，则，，也是空间的一组基底，故D正确.6．（多选题）若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是(　　)A.{a,2b,3c}B.{a+b,b+c,c+a}C.{a+2b,2b+3c,3a-9c}D.{a+b+c,b,c}【答案】ABD【解析】由于a,b,c不共面,易判断A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的,不能构成基底.二、填空题7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.【答案】【解析】在四面体中，、分别是、的中点，则.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱中，的中点为M，，，，则可用、、表示为______.【答案】【解析】在中，,又的中点为,是斜三棱柱，，,在中 9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　　. 【答案】【解析】如图所示.设=a,=b,=c,则=120°,c⊥a,c⊥b,因为=-a+c,=b+c,cos===.10.（2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体中，已知，N为上一点，且.若，则的值为________；若M为棱的中点，平面，则的值为________.【答案】 【解析】(1)取空间中一组基底：，因为，所以，因为，所以，所以，所以；(2)在上取一点使得，连接，因为且，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，且，所以平面平面，所以平面，又因为平面平面，且平面，所以，所以，所以，所以.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=-,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.【答案】见解析【解析】连接AN,则. 由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得=a+b,=-=-(a+b),又=b-c,故=b-(b-c),所以=-(a+b)+b-(b-c)=(-a+b+c).12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;(2)A1G⊥平面EFD.【答案】见解析【解析】(1)设正方体棱长为1,=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底.=i+k,i+k=,∴AB1∥GE.k+(i+j)=-i-j+k,∵=(i+k)·=-|i|2+|k|2=0,∴AB1⊥EH. (2)=-k+j+i,=i-j,=i+k.∴=-|j|2+|i|2=0,∴A1G⊥DF.=-|k|2+|i|2=0,∴A1G⊥DE.又DE∩DF=O,∴A1G⊥平面EFD.