2.3.4两条平行线间的距离-B提高练一、选择题1.(2020·江苏省如皋中学高二期中)若两条平行直线与之间的距离是,则()A.B.C.D.或【答案】A【解析】由题意直线与平行,则两条直线的斜率相等,即,又直线间的距离为,即,解得,所以.故选:A2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A.3B.2C.3D.4【答案】A【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得,所以|m+7|=|m+5|,所以m=-6,
即l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.3.(2020·浙江高二月考)已知,且满足,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】为直线上的动点,为直线上的动点,可理解为两动点间距离的最小值,显然最小值即两平行线间的距离:.故选:C4.(2020浙江南湖高二期中)设两条直线的方程分别为,,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得两条直线的距离是,因为是方程的两个根,所以,则,因为,所以,即.故选:C5.(多选题)(2020江苏江阴三中高二期中)若两条平行直线:与:之间的距离是,则的可能值为()A.B.C.D.【答案】AB【解析】由题意,,,所以,所以:,即,
由两平行直线间的距离公式得,解得或,所以或.故选:AB6.(多选题)(2020山东潍坊三中高二月考)两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离可能取值为()A.1B.3C.5D.7【答案】ABC【解析】当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,两平行直线l1,l2间的距离最大最大距离为,所以l1,l2之间的距离的取值范围是.故答案选ABC二、填空题7.(2020·北京东城高二期中)若直线与直线平行,则_____,与之间的距离是____.【答案】;【解析】,且直线的斜率为,,则直线的一般方程为.所以,直线与之间的距离是.8.(2020全国高二课时练)如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,l2的方程为____.【答案】x+y-3=0.【解析】设l2的方程为y=-x+b(b>1),则图中A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).所以AD=
,BC=b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,故h==(b>1),由梯形面积公式得×=4,所以b2=9,b=±3.但b>1,所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.9.(2020山西高二期中)与两条平行线等距离的平行线_____.【答案】12x+8y-15=0【解析】设所求直线方程为化为于是,解得则所求直线方程是即10.(2020全国高二课时练)若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是________.(写出所有正确答案的序号)①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°.【答案】①⑤【解析】两直线x-y+1=0与x-y+3=0之间的距离为.又动直线被l1与l2所截的线段长为2,故动直线与两直线的夹角应为30°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°.因此只有①⑤适合.三、解答题11.(2020山东泰安实验中学高二月考)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.(1)求a的值.(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.【解析】(1)l2的方程即为,
∴l1和l2的距离d=,∴.∵a>0,∴a=3.(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1和l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,且,即c=或c=.∴2x0-y0+或2x0-y0+.若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.由P在第一象限,∴3x0+2=0不合题意.联立方程2x0-y0+和x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=,应舍去.由2x0-y0+与x0-2y0+4=0联立,解得x0=,y0=.所以P()即为同时满足三个条件的点.12.(2020华东师范大学第三附属中学高二月考)设直线与.(1)若∥,求、之间的距离;(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线的方程.【解析】(1)若l1∥l2,则,∴,∴m=6,∴l1:x﹣2y﹣1=0,l2:x﹣2y﹣6=0∴l1,l2之间的距离d;(2)由题意,,∴0<m<3,
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm(3﹣m),∴m时,S最大为,此时直线l2的方程为2x+2y﹣3=0.