人教版高中数学选择性必修第一册提高练习3.2.2《双曲线的简单几何性质（2）》（解析版）

3.2.2双曲线的简单几何性质(2)-B提高练一、选择题1.（2020·广东湛江高二期末）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】双曲线的渐进线方程为，故双曲线的渐近线方程为.设双曲线的方程为.当时，双曲线的方程为，则，解得：；当时，双曲线的方程为，则，解得：；故选C2．（2020·北京大兴区高二月考）已知点P是双曲线C：x21的一条渐近线y＝kx（k＞0）上一点，F是双曲线C的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】由双曲线方程可得a＝1，b＝2，则c，则渐近线方程为：y＝2x，F（，0），又Sc•|yP|＝5，则yP＝±2，当y＝2时，x，当y＝﹣2时，x，故点P的横坐标为±，故选：A．3．（2020·西南大学附中高二月考）斜率存在的直线点且与双曲线：有且只有一个公共点，则直线斜率为（） A．B．C．2或D．或【答案】D【解析】由题意，设直线的方程为，代入双曲线方程化简可得，当即时，只有一解，满足直线与双曲线有且只有一个公共点；当时，令，解得，此时方程有两个相等实数根，满足直线与双曲线有且只有一个公共点；所以或.故选：D.4．（2020·陕西高二月考）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是（）A．曲线的方程为；B．左焦点到一条渐近线距离为；C．直线与曲线有两个公共点；D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条；【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，所以双曲线方程为，A正确；由双曲线方程知，，左焦点为，渐近线方程为，左焦点到渐近线的中庸为，B正确；由得，代入双曲线方程整理得，解得，所以，直线与双曲线只有一个公共点，C错；双曲线的通径长为 ，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长为的弦有两条，又两顶点间距离为，因此端点在双曲线左右两支上且弦长为的弦只有一条，为实轴，所以共有3条弦的弦长为，D正确．故选：C．5．（多选题）（2020·月考）双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为.当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则（）A．的方程为B．的离心率为C．的渐近线方程为D．的方程为【答案】BCD【解析】因为，所以因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为.将其代入双曲线的方程，得，即，解得又因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为，故选：BCD6.（多选题）（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（）A．的方程为B．的离心率为C．的渐近线与圆相切D．满足的直线仅有1条【答案】AC 【解析】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；又离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C正确；直线与曲线的方程联立整理得，设，，且，有，所以，要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，故选：AC.二、填空题7．（2020·月考）过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴ ，可得，解得，舍去.8.（2020·云南师大附中高二月考）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为_________．【答案】【解析】由题意可得，渐近线方程为，∴，，故．9．（2020·内江市第六中学其他模拟（文））已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.【答案】10【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，∴，即，∵左焦点，∴∴，∴，，∴双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，∴，，∴．10．（2020·河北高二月考）设，分别是双曲线的左､ 右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】取的中点，则∵，∴，∴，∵是的中位线，∴，.由双曲线的定义得，∵，∴，.中，由勾股定理得，∴，∴.三、解答题11.（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为与双曲线交于两点，求的面积.【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，∴双曲线方程为，即.（2）由（1）知：，即直线的方程为.设，联立得，满足且，，由弦长公式得， 点到直线的距离.所以12.（2020·全国高二课时练）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且，求面积的取值范围．【解析】（1）∵双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率．又∵直线经过椭圆的右顶点，令，则∴右顶点的坐标为，即，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，．联立消去y，整理得，则，于是．又， 故，则．由得，解得．又由，得，且．设原点O到直线的距离为d，则，，，，故由m的取值范围可得面积的取值范围为．