3.3.1抛物线及其标准方程-B提高练一、选择题1．（2020·海南琼山中学高二月考）抛物线的焦点为椭圆的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知，，所以，椭圆的下焦点为，设抛物线的方程为，则，所以抛物线的方程为，故选：A2．（2020·福建高二期中）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为，镜深，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（）A．0.5米B．1米C．1.5米D．2米【答案】B【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程集光板端点，代入抛物线方程可得，所以抛物线方程，故焦点坐标是.
所以容器灶圈应距离集光板顶点.故选：B3.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B.若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )A.y2=xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x【答案】D【解析】设直线l交x轴于点C.∵AB⊥l,l⊥x轴,∴AB∥x轴,可得∠BFC=∠ABF=60°,Rt△BCF中,|CF|=|BF|cos60°=p,解得|BF|=2p,由AB⊥y轴,可得3+=2p,∴p=2,∴抛物线的标准方程是y2=4x.4．（2020·乌市一中高二月考）如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线【答案】B【解析】如图所示，在正方体中，作，垂足为，则平面，过作，则平面，则为点到直线的距离，由题意得，由已知得，所以，即到点的距离等于到的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B5．（多选题）（2020·山东高三期末）已知点为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为（）A．B．C．（）D．（）【答案】AD【解析】A.，抛物线的焦点为，满足；B.，抛物线的焦点为，不满足；C.（），焦点为，或或曲线表示圆不存在焦点，，则
，均不满足；D.（），双曲线的焦点为，满足；故选：.6.（多选题）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（）A．的准线方程为B．点的坐标为C．D．三角形的面积为（为坐标原点）【答案】ACD【解析】如图，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.由抛物线的解析式可得准线方程为，点的坐标为，则，，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有，结合题意，有，故，，.故选：ACD.二、填空题7.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是_．【答案】【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,∴.
8.（2020·北京大兴区高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为__．【答案】【解析】双曲线的一条渐近线方程为，，①抛物线的准线方程为，该双曲线一个焦点在抛物线的准线上，，而，，②由①②，得，，双曲线的方程为．9.（2020·江苏南京高二期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为___________.【答案】【解析】设桥拱所在抛物线方程，由图可知，曲线经过，代入方程，解得：，所以桥拱所在抛物线方程；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线，由图抛物线经过点，则，解得，
所以，点即桥拱所在抛物线与的交点坐标，设由，解得：，所以点A的横坐标为.10.（2020·山东泰安实验中学高二月考）以下四个命题:①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线;②抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是;③直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p;④正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则此正三角形的边长为4p.其中正确命题的序号是 . 【答案】④【解析】①当定点F正好在定直线l上时,平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线,故①错;②当a>0时,整理抛物线方程得x2=y,p=.所以焦点坐标为,抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是,故②错;③当直线l不是过抛物线焦点的直线时,直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p不成立,故③错;④设正三角形另外两个顶点的坐标分别为,由tan30°=,解得m=2p,故这个正三角形的边长为2m=4p,故④正确.三、解答题11.（2020·上海徐汇·高二期末）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点实时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解析】（1）设曲线方程为，由题意可知，，∴，∴曲线方程为；（2）设变轨点为，根据题意可知，得，解得或（不合题意，舍去），∴，得或（不合题意，舍去），∴点的坐标为，，答：当观测点测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令．12.（2020·全国高二课时练）已知M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)过点F作相互垂直的两条直线l1,l2,曲线C与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2,试证明:.
【解析】(1)∵点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,由抛物线的定义可知,点M的轨迹是抛物线,设方程为y2=2px(p>0),∵=1,∴p=2.∴轨迹C的方程为y2=4x.(2)由题意知,l1,l2的斜率均存在且不为0.设l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,整理可得k2x-(2k2+4)x+k2=0,设P1,P2的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=,∴|P1P2|=x1+x2+p=,以-代入,可得|Q1Q2|=4+4k2,∴.
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