第二章直线和圆的方程(复习小结)(B提高练)一、选择题1.(2020重庆四中高二期中)设为直线与圆的两个交点,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D.2.(2020湖南衡阳五中高二月考)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )A.6B.4C.3D.2【答案】B【解析】当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x=-3时,|PQ|有最小值,且最小值为圆心(3,-1)到直线x=-3的距离减去半径2,即最小值为4,故选B.3.(2020全国高二课时练)已知直线:是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则()A.2B.C.6D.【答案】C
【解析】直线l过圆心,所以,所以切线长.4.(2020山东高二月考)一条光线从点射出,经轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.或B.或C.或D.或【答案】D【解析】由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点,设反射光线所在直线的斜率为,则反射光线所在直线方程为:,即:.又因为光线与圆相切,所以,,整理:,解得:,或,故选D.5.(多选题)(2020·江苏建邺高二期中)以下四个命题表述正确的是()A.直线恒过定点B.圆:的圆心到直线的距离为2C.圆:与圆:恰有三条公切线D.两圆与的公共弦所在的直线方程为:【答案】AC【解析】对于A选项,当时,所以直线过定点,故A选项正确.对于B选项,圆的圆心为,到直线的距离为,所以B选项错误.对于C选项,圆的圆心为,半径为;圆的圆心为,半径为.圆心距为,所以两圆外切,故恰有三条公切线,故C正确.对于D选项,由两式相减并化简得,所以D选项错误.综上所述,正确的选项为AC.故选:AC6.(多选题)(2020山东枣庄高二月考)已知分别为圆:与圆:
上的动点,为轴上的动点,则的值可能是()A.7B.8C.9D.10【答案】CD【解析】圆,关于轴对称的圆为圆,则的最小值为,又,故选:.二、填空题7.(2020·天津高考真题)已知直线和圆相交于两点.若,则的值为_________.【答案】5【解析】因为圆心到直线的距离,由可得,解得.8.(2020辽宁盘锦四中高二期中)设点M(,1),若在圆O:上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是________.【答案】【解析】由题意知:直线MN与圆O有公共点即可,即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可,如图,过OA⊥MN,垂足为A,在中,因为∠OMN=45,所以=,解得,因为点M(,1),所以,解得,故的取值范围是.9.(2020·南京市秦淮中学高二期中)已知直线l:mx﹣y=1,若直线l与直线x+m(m﹣1)y=2垂直,则m
的值为_____,动直线l:mx﹣y=1被圆C:x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为_____.【答案】0或2;.【解析】由题意,直线mx﹣y=1与直线x+m(m﹣1)y=2垂直,所以m×1+(﹣1)×m(m﹣1)=0,解得m=0或m=2;动直线l:mx﹣y=1过定点(0,﹣1),圆C:x2﹣2x+y2﹣8=0化为(x﹣1)2+y2=9,圆心(1,0)到直线mx﹣y﹣1=0的距离的最大值为,所以动直线l:mx﹣y=1被圆C:x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为.故答案为0或2;.10.(2020山东菏泽三中高二月考)在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值为__________.【答案】【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得:(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆C′:(x-4)2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,即3k2≤4k,∴0≤k≤,故可知参数k的最大值为.三、解答题11.(2020山东泰安实验中学高二期末)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.【解析】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,
设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.故由,解得:.故当,过点A(0,1)的直线与圆C:相交于M,N两点.(2)设M;N,由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程,可得,∴,∴,由,解得k=1,故直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.所以|MN|=212.(2020湖北襄阳高二月考)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?【解析】
(1)如图,以为轴建立直角坐标系,则,由题意,直线方程为.又,故直线方程为,由,解得,即,所以;(2)设,即,由(1)直线的一般方程为,圆的半径为,由题意要求,由于,因此,∴∴,所以当时,取得最大值,此时圆面积最大.