第五章一元函数的导数及其应用单元过关检测能力提升B卷解析版题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1，高为2，3的两矩形构成，设函数S是图中阴影部分介于平行线和之间的那一部分的面积，那么函数的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图象依次分析[0，1]、[1，2]和[2，3]上面积增长速度的变化情况，从而求得结果.【详解】根据图象可知在[0，1]上面积增长速度越来越慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度，在图形上反映出[1，2]上的切线的斜率大于在[2，3]上的切线的斜率，因此C项符合题意.【点睛】本题考查函数图象的应用和判断，解题的关键在于得出面积变化速度与函数图像的切线斜率的关系，属中档题.2．函数在定义域内可导，其图像如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】就是由函数的减区间得的解区间．【详解】由图象知和上递减，因此的解集为．故选A．【点睛】本题考查导数与单调性的关系．的解区间是的减区间，的解区间是的增区间．3．曲线上的点到直线的最短距离为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，利用导数的几何意义求得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.设切点为，对函数求导得，由，可得，则，所以，切点为.
则点到直线的距离.曲线上的点到直线的最短距离是.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题.4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据函数单调性，将问题转化为在区间上恒成立求参数范围的问题；再分离参数，则问题得解.【详解】因为在区间上单调递增，故在区间上恒成立.即在区间恒成立.故.故选：.【点睛】本题考查利用导数由函数的单调性求参数的范围，属基础题.5．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围.【详解】的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为
，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6．已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】设切点的横坐标为，利用切点与点连线的斜率等于曲线在切点处切线的斜率，利用导数建立有关的方程，得出的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出的值，再利用导数求出函数的极大值点．【详解】设切点坐标为，∵，∴，即，解得或.∵，∴，即，则，.当或时，；当
时，.故的极大值点为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．7．已知函数，其中为函数的导数，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.【详解】，所以，，，函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，因此，.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.8．已知函数.则下列结论中错误的是（）A．的极值点不止一个B．的最小值为C．的图象关于轴对称D．在上单调递减【答案】A【分析】判断函数的值域以及函数的单调性，求解函数的极值，函数的奇偶性、对称性，即可得到结果.【详解】因为，，所以，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，且只有一个极值点.因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称.所以选项BCD正确，选项A错误，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和性质，函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.二、多选题9．已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（）A．若，且，则的解集为B．若，且，则函数有极小值0C．若，且，则不等式的解集为
D．若，则【答案】ABD【分析】根据各选项的条件分别构造出函数，再利用导数得到函数的单调性，再根据单调性和已知条件依次判断即可得到答案.【详解】对选项A：设，因为，且，则，所以在上增函数，又因为，所以当时，，即的解集为，故A正确.对选项B，设，因为所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，故当，取得极小值，极小值为，故B正确.对选项C，设，.因为，，所以，在上增函数.又因为，所以.所以当时，，故C错误.对选项D，设，因为，所以，在上增函数.
所以，，即.故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，同时考查了构造函数，属于中档题.10．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（）A．2是函数的一个下界B．函数有下界，无上界C．函数有上界，无下界D．函数有界【答案】ABD【分析】由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；由恒成立即可判断C；利用放缩法即可判断D.【详解】对于A，当时，,当且仅当时取等号，恒成立，是的一个下界，故A正确；对于B，因为，当时，；时，，在上单调递减，在上单调递增，，有下界，又时，，无上界，故B正确；对于C，，，恒成立，有下界，故C错误；
对于D，，，又，，，既有上界又有下界，即有界，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题.11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（）A．函数对称中心B．的值是99C．函数对称中心D．的值是1【答案】BC【分析】根据题意求出函数对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可.【详解】,令，解得，，由题意可知：函数的对称中心为；
因为函数的对称中心为，所以有，设，所以有，得，，即的值是99.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的对称中心，考查了利用函数的对称性求函数值之和问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.12．如图，在四面体中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为，设，对于函数，则下列结论正确的是（）A．当时，函数取到最大值B．函数在上是减函数C．函数的图象关于直线对称D．不存在，使得(其中为四面体的体积).【答案】ABD【分析】由题意可知，设，则
.利用导数性质求出当时，函数取到最大值.【详解】在四面体中，点，，分别在棱，，上，且平面平面，由题意可知，，.棱锥与棱锥的高之比为.设，.，当时，，当时，，当时，函数取到最大值.故正确；函数在函数在上是减函数，故正确；函数的图像不关于直线对称，故错误；，不存在，使得(其中为四面体的体积).故正确.故选：.【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，利用导数研究几何体体积最值问题，属于中档题三、填空题13．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是______.【答案】【分析】
首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为，故答案为：【点睛】此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题14．在中，分别为角的对边，若函数有极值点，则的范围是__________．【答案】【详解】由题意有两个不等实根，所以，，所以，所以．故答案为：.【点睛】对定义域内的可导函数来讲，导函数的零点是函数极值点的必要条件，只有在的两侧的符号正好相反，都是极值点．本题中导函数是二次函数，因此要使得的零点为的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可．15．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，图标内部有一“杠铃形图案”（如图中阴影部分），圆的半径为1米，，是圆的直径，，在弦上，，在弦
上，圆心是矩形的中心.若米，，，则“杠铃形图案”面积的最小值为______平方米.【答案】【分析】先求出面积关于的函数解析式，利用导数判断函数单调性，再计算函数最小值．【详解】设中点为，连接，则，，则，，所以“杠铃形图案”的面积为，则.因为，所以，，单调递增.所以
当时，的最小值.则“杠铃形图案”面积的最小值为平方米.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考察实际问题中函数的应用，根据题意写出面积关于的函数解析式，再利用导数求函数的最大值，难点在于利用导数求极值，考查了运算能力，属于中档题.16．若函数，对于任意的，（其中）不等式恒成立，则的取值范围为________．【答案】．【分析】转化条件为在上恒成立，求得即可得解.【详解】由题意，函数在上是单调递增函数，所以即在上恒成立，因为当时，，所以，所以的取值范围为．故答案为：.四、解答题17．已知二次函数.（1）求在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；
（2）先对求导，分别讨论，两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得出结果.【详解】（1）由得，则在点处的切线斜率为，又，所以在点处的切线方程为，即；（2）因为所以当时，在上恒正；所以在上单调递增当时，由得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；当时，当时，单调递减；当时，单调递增.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.18．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数
的取值范围．【答案】（1）在递增，在递减，在递增（2）【解析】【分析】（1）先求函数的定义域以及导数，然后根据导数的零点与的大小关系确定分类讨论的标准，再结合的符号讨论函数的单调性.（2）结合函数的单调性，求出，则问题转化为对于任意恒成立问题，再求出，的最大值，即可求出的范围.【详解】解：（1）的定义域是，，①当时，令，解得：，或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，②当时，，在递增，③当时，令，解得：，或，令，解得：；故在递增，在递减，在递增；（2）由（1）知时，在递增，故在递增，故，
要使不等式在恒成立，只需，记，则，故在递增，的最大值是，故，故的范围是．【点睛】主要考查了含参函数单调性的讨论，以及恒成立问题，属于难题.对于恒成立问题，关键是等价转化为函数最值问题.而含参函数单调性的讨论的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求出函数的导数；（3）根据定义域以及函数导数的零点确定分类标准；（4）根据导数的符号讨论函数的单调性.19．如图，某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点为圆心，为半径做圆弧，将作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自点起，改为直道.已知千米，点A到OM，ON的距离分别为千米和1千米，，且千米，记.（1）求的取值范围；（2）已知弧形线路的造价与弧长成正比，比例系数为3a，直道PN的造价与长度的平方成正比，比例系数为a，当θ为多少时，总造价最少？【答案】（1）；（2）当θ为时，总造价最少.【分析】
（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求出直线CN的方程，所在圆的方程，联立直线与圆的方程，求出交点C的坐标，当PN过点C时，求出，结合图形，即可得出结果；（2）先由题意，得到的长为，设，得出，，，用导数的方法求出其最小值即可.【详解】（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，，所以直线CN的方程为，所在圆的方程为，联立解得，当PN过点C时，，，所以的取值范围是.（2）由题意，的长为，设，
则，所以总造价，，，所以，令得，，所以，列表如下：↘极小值↗所以当时，有极小值，也是最小值.答：当为时，总造价最少.【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.20．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.（1）当时，求的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）将代入，结合定义可求得对称中心，进而可知.
结合所求式子特征即可求解.（2）将代入不等式，结合定义域可分离参数，构造函数，求得并令，求得极值点，即可由导函数符号判断函数的单调性，进而求得，即可确定的取值范围.【详解】（1）函数，当时，因为，∴，令，解得，则对称中心的纵坐标为，故对称中心为，所以，所以，，…则.（2）∵，，即，又，∴在上恒成立.令.∴.∵，
令，得或（舍去）.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.∴.∴，即的取值范围为.【点睛】本题考查了函数新定义的应用，导函数的运算及中心对称性质的应用，分离参数并构造函数法求参数的取值范围，由导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.21．已知函数（1）若存在极值点1，求的值；（2）若存在两个不同的零点，求证：【答案】(1)；(2)见解析.【详解】试题分析：（1）由存在极值点为1，得，可解得a.(2)是典型的极值点偏移问题，先证明,再利用在上的单调性，即可得证.试题解析：(1)，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.(2)①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；②当时，由得，当时，，所以为增函数，当时，，所为减函数，所以当时，取得极小值
又因为存在两个不同零点，所以，即整理得，作关于直线的对称曲线，令所以在上单调递增，不妨设，则，即，又因为且在上为减函数，故，即，又，易知成立，故.点晴：本题主要考查导数在函数中的应用，具体涉及到函数的极值，函数的极值点偏移问题.第一问中存在极值点1，所以，解得;第二问处理极值点问题有两个关键步骤：一是在构造函数证明其大于于0恒成立，二是利用在上为减函数，两者结合即可证明结论成立.22．已知，函数，（1）求的最小值；（2）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；（3）证明：（）【答案】(1)1.(2).（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先求的极值，有唯一的极小值，极小值为最小值．
（2）在上恒成立，分离变量，在上恒成立，求解函数在上的最大值．（3）利用（2）问的结论进行放缩．详解：（1）函数的定义域为，.当，，当，，∴为极小值点，极小值.（2）∵.∴在上恒成立，即在上恒成立.又，所以，所以，所求实数的取值范围为.（3）由（2），取，设，则，即，于是..所以.点睛：（1）函数极值与最值的性质：有唯一的极小值，极小值为最小值．（2）对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：1、恒成立，等价于2、使得成立，等价于（3）利用导数证明不等式，再利用不等式对数列进行放缩，解决证明数列不等式很有效，本题还可以采用数学归纳法证明．
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