人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用综合检测2一、单选题1．曲线在点处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．42．设是可导函数，且，则（）A．2B．C．1D．3．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（）A．B．C．D．4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．函数在时有极值0，那么的值为（）
A．14B．40C．48D．14或406．函数的导函数为，若已知的图象如图，则下列说法正确的是（）A．一定为偶函数B．在单调递增C．一定有最小值D．不等式一定有解7．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（）A．0B．1C．2D．8．已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（）A．B．C．D．9．函数是上的单调函数，则的范围是（）
A．B．C．D．10．函数，若，，，则（）A．B．C．D．11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知锐角，满足，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．二、填空题13．已知，为实数，函数在点处的切线方程为，则的值为______．14．函数的最大值为________.15．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为_____16．已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，，则不等式的解集为______三、解答题
17．（1）求函数的极小值；（2）求函数的单调减区间.18．已知函数及点，过点作直线与曲线相切（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过点的切线的斜率.19．设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.20．已知二次函数.（1）求在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性21．已知函数，a为实数.
（1）当时，讨论的单调性；（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.22．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数（其中是的导函数）有两个极值点、，且，求的取值范围.
参考答案1．C【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可令，计算可得所求切线的斜率.【详解】解：的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，熟练掌握导数的运算性质是解题的关键，是一道基本题.2．D【分析】由导数的定义可得，即可得答案．【详解】根据题意，，故.故选：D．【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题．
3．C【分析】设函数，得到，得到在区间上为单调递减函数或常数函数，结合，即可求解.【详解】由题意，设函数，则，所以函数在区间上为单调递减函数或常数函数，因为，所以，即.故选：C.4．B【分析】根据图象得出的单调性即可.【详解】由图可知在，上递减，在，上递增，故故选：B5．B【分析】由导数与函数的关系得出的值，再检验，或，
是否成立.【详解】函数，若在时有极值0，可得则，解得：，或，当，时，，满足题意函数在时有极值0．当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．．故选：B6．C【分析】A.由函数判断；B.由的图象判断；C.由结合函数的单调性判断；D.最小值是和正负不一定判断.【详解】
A.如函数为，则符合题意，但不是偶函数，故错误；B.由的图象，得在递减，递增；在递减，在递增，故错误；C.由，所以存在极小值和，无论是否存在，均可得出一定有最小值，故正确；D.最小值不一定为负数，故错误；.故选：C.7．C【分析】利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.【详解】，易知，当时，，当或时，，所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，，当时，，所以最大值为，解得.故选：C8．D
【分析】求出导函数，结合函数图象求出成立的x的范围即可.【详解】解：，由图象：和时，，即，故在上递减，故选：D.9．D【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，解得故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．10．B【分析】
求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.【详解】因为，所以，当时，，则在为减函数，因为，所以，即，故选：B11．A【分析】先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可.【详解】，由题意可知在恒成立，即恒成立，设，时，，为减函数；
时，，为增函数；的最小值为，所以，故选：A.【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）在区间上单调递增等价于在区间上恒成立；（2）在区间上单调递减等价于在区间上恒成立.12．D【分析】结合已知条件，构造函数，得：，根据选项，逐一验证即可.【详解】，即，设，则，所以在上是减函数，所以，由在上是增函数，得，即，
同理可得，所以故选：D【点睛】解题关键在于利用，变为，进而构造，再利用导数进行判断选项，难度属于中档题13．【分析】先求导，由直线的点斜式求得切线方程，再对照系数建立关于的方程组，解之可求得答案.【详解】因为，所以在处的切线为．，解得，．故答案为：.14．【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可.
【详解】解：，∴当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，∵，∴的最大值为.故答案为：.【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.15．【分析】令，则，可以判断出在上单调递增，再由，，根据单调性即可比较大小.【详解】令，则，因为对于恒成立，
所以，所以在上单调递增，，，，因为，所以，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用导数判断出在上单调递增，更关键的一点要能够得出，，，根据单调性即可比较大小.16．【分析】根据条件可得函数为偶函数，且在单调递减，从而可得不等式.【详解】当时，，且为偶函数，在单调递减，，
解得：，故答案为：.【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.17．（1）；（2）【解析】分析：（1）求函数导数，令导函数为0，根据单调性可得极小值；（2）求函数导数，令导函数小于0即可解得减区间.详解：（1），令，得，，且时，；时，；时，故在时取得极小值.（2）函数的定义域为，，令，即：，解得：所以函数的单调递减区间为.点睛：求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)
解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.18．（1）（2）或【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；（2）利用导数的几何意义和斜率公式可解得结果.【详解】（1）因为，所以，所以切线的斜率为，又，所以切线方程为，即.（2）设切点为，则，整理得，解得或，所以切线的斜率为或，综上所述：切线的斜率为或【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.
19．（1）增区间，，减区间，极大值，极小值．（2）最大值，最小值．【分析】（1）将点代入函数解析式即可求得a，对函数求导，分析导函数的正负，确定单调区间及极值；（2）分析函数在此区间上的单调性，由极值、端点值确定最值.【详解】（1）∵点在函数的图象上,∴,解得,∴,∴,当或时,,单调递增;当时,,单调递减.∴当时,有极大值,且极大值为,当时,有极小值,且极小值为（2）由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴,又,,∴【点睛】本题考查函数单调区间、极值和最值的求法，求极值与单调区间都要分析导函数的零点，但是注意导函数的零点并非一定是极值点，要结合零点两侧的单调性进行判断.20．（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；
（2）先对求导，分别讨论，两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得出结果.【详解】（1）由得，则在点处的切线斜率为，又，所以在点处的切线方程为，即；（2）因为所以当时，在上恒正；所以在上单调递增当时，由得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；
当时，当时，单调递减；当时，单调递增.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.21．（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求出函数的导函数，对和进行比较即可得到的单调性；（2）根据的取值范围，分和进行求解，当时分离出，根据的单调性，即可得出的取值范围.【详解】（1），当，即时，，在R上单调递增，当，即时，由得或，由得.分别在与上单调递增，在单调递减，综上所述，当时，在R上单调递增；当时，分别在与单调递增，在单调递减.（2）由已知得在区间上恒成立，在区间上恒成立，
当时，；当时，.而在上单调递增，时，，则.综上.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，属于中档题.22．（1）；（2）.【分析】（1）对函数进行求导，求出点处的切线的斜率，用点斜式求出切线方程；（2）利用函数有两个极值点，得a与两极值的关系，，，，可得，，令，，求新函数在区间的最值可得其取值范围.【详解】（1）的定义域为，.而，即，故所求切线的斜率为，所以方程为
（2），则的定义域为，，若有两个极值点、，且则方程的判别式，且，，得，且.所以设，则在上恒成立故在单调递减，从而，
所以的取值范围是.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是化简，再构造函数，再利用导数求函数的值域.
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