人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用基础检测1一、单选题1．函数的导数是（）A．B．C．D．2．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（）A．eB．C．1D．3．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．4．函数的图像在点处的切线方程是（）A．B．C．D．5．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（）A．B．1C．或1D．或16．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（）
A．0B．1C．2D．37．已知函数，则其单调增区间是（）A．B．C．D．8．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A．B．C．D．9．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（）A．B．6C．12D．10．函数在处取得极值，则（）
A．，且为极大值点B．，且为极小值点C．，且为极大值点D．，且为极小值点11．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在x＝1时，f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值12．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．二、填空题13．函数的单调递减区间是______．
14．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有______个.15．设函数的导函数是，若，则____________．16．已知曲线(为自然对数的底数)在处的切线斜率等于，则实数___________.三、解答题17．已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.18．（1）求导：（2）求函数在处的导数.19．已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.20．已知函数，且.
（1）求的值；（2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.21．已知.（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.22．已知函数（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：
参考答案1．B【分析】根据导数的计算公式计算即可.【详解】解：，.故选：B.2．B【分析】先设出切点坐标为，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，从而可得切线方程为，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标，再将代入曲线方程中可求出的值，进而可得切线的斜率【详解】解：设切点坐标为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过原点，所以，得，因为切点在曲线上，所以，解得，
所以切线的斜率为，故选：B3．C【分析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C4．A【分析】求导，再分别求得，，由点斜式写出切线方程.【详解】由题意可得，则．因为，所以，则所求切线方程是，即．
故选：A5．A【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．【详解】解：，于是切线的斜率，切线与直线平行，，时，，切点是，切线的斜率，故切线方程是：，即和直线重合，故，故选：A．6．B【分析】通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【详解】
由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中，知在，上，所以此时函数在，上单调递增，在上，，此时在上单调递减，所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．则函数的极小值点的个数为1．故选:B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．7．A【分析】求导，求函数的单调递增区间，即求不等式，解不等式即可的答案.【详解】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去）
所以单调增区间是故选：A.8．C【分析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故选：C．【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.9．A【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.【详解】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.故选：A.
【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.10．B【分析】先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．【详解】解：∵，∴，又在处取得极值，∴，得，∴，由得，，即，∴，即，同理，由得，，∴在处附近的左侧为负，右侧为正，
∴函数在处取得极小值，故选：B．【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．11．C【分析】根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；故选：C．【点睛】本题考查函数单调性和极值的图形特征，是基础题.12．B【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果.
【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.故选B.【点睛】本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.13．【分析】求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．【详解】，其中，令，则，故函数的单调减区间为，故答案为：．【点睛】一般地，若在区间上可导，我们用求，则在上的减区间，反之，若在区间上可导且为减函数，则，注意求单调区间前先确定函数的定义域．
14．2【分析】根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解.【详解】由导函数的图像可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以为极大值点，为极小值点，所以函数的极值点有2个.故答案为：215．0【分析】直接对原函数求导即得解.【详解】∵，∴，∴，∴．故答案为：0
【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．1【分析】由导数的几何意义知，即可求参数即可.【详解】由函数解析式，知：，依题意：，∴，则，故答案为：1.【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求参数，属于简单题.17．（1）；（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1），
令，得，所以的减区间为.（2）由（1），令，得或知：，为增函数，，为减函数，，为增函数.，，，.所以在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）；（2）1；【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；（2）求导后可得，再将代入即可得答案；【详解】（1）；（2）；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题.19．（1）；（2）3.【分析】
（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
20．（1）；（2）【分析】（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.【详解】解：（1）因为，所以，因为,所以,解得所以.（2）由（1）可知，则，令，得,和的变化情况如下表：2
0极小值因为，所以函数在上的最大值为,所以，解得,所以,由上面可知在上单调递增，在上单调递减；又因为，所以函数在上的最小值为.【点睛】此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.21．（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【分析】（1）计算，根据与，可得结果.（2）利用等价转化的思想，在上恒成立，然后根据的单调性，简单计算，可得结果.【详解】
（1）当时，则，令，得令，得所以的单调递增区间为单调递减区间为（2）由题可知：在定义域R内单调递增等价于由在上单调递增，又则【点睛】本题考查导数的简单应用，掌握导数与原函数之间的关系，属基础题.22．(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求切线方程先求导，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.
（Ⅰ）所以则切线方程为（Ⅱ）令则设的两根为，由于不妨设则在是递减的，在是递增的，而所以在单调递增，所以，因为所以.点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题.
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