4.2等差数列知识梳理1、等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.2、等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3、等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.4、注意：（1）已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.（2）在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.（3）等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.（4）数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).5、判断等差数列的方法：
（1）定义法：证明，为常数；（2）等差中项法：；（3）通项公式法：；（4）前项和法：．知识典例题型一等差数列的基本公式例1 等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设的公差为，列出关于和方程组，解出后可得通项公式；（2）仍然成等差数列，由等差数列的前项和公式计算．【详解】（1）设的公差为，则，解得，，所以（2）由（1）知，
∴．已知等差数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）；（2）250【分析】（1）由已知利用基本量求数列的通项；（2）需判断哪些项为非负，哪些为负，然后去绝对值转化为等差数列的和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由条件得解得，通项公式，即（2）令，解，∴当时，；当时，
∴题型二等差数列的性质例2 等差数列中，已知，，求（）A．11B．22C．33D．44【答案】B【分析】根据，，利用等差数列的性质求得和的值，然后由求解.【详解】∵等差数列中，，∴，，∴，，
∴，故选：B.已知两个等差数列和的前n项和分别是和，且，则等于（）A．2B．C．D．【答案】B【分析】由题意和等差数列的性质可得：，化简可得．【详解】由等差数列的性质可知，故选：B．题型三 等差数列的前n项和及其判定例3 已知数列的前n项和为．（Ⅰ）若为等差数列，求证：；（Ⅱ）若，求证：为等差数列．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据为等差数列，利用倒序相加法证明即可；（2）由前n项和公式有、，相加后整理可得，为等差数列得证．【详解】（Ⅰ）证明：已知数列为等差数列，设其公差为d，则有，于是，①又，②①+②得：，即．（Ⅱ）证明：∵，当时，，∴，③，④④-③并整理，得，即，∴数列是等差数列．
（多选）已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数）B．数列是等差数列C．数列是等差数列D．是与的等差中项【答案】ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD题型四 前n项和的性质例4 一个等差数列的前项和为，前项和为24，则前项和为（）A．40B．48C．56D．72【答案】B
【分析】记等差数列的前项和为，根据等差数列前项和的性质，得到，，也成等差数列，由此列出方程，即可得出结果.【详解】记等差数列的前项和为，根据题中条件，得到，，由等差数列前项和的性质，得到，，也成等差数列，所以，即，解得.故选：B.设等差数列数列的前项和为，若，则（）A．32B．47C．54D．86【答案】D【分析】由等差数列的性质可得：，，，成等差数列．即可得出结果．【详解】解：由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，其首项为2，公差为13,
∴，故选：D题型五 性质应用例5 （多选）已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大B．在数列中，或最大C．D．当时，【答案】AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A正确；选项不正确；，
所以，故选项C不正确；当时，，即，故选项D正确；故选：AD（多选）设是等差数列，是其前项和，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．的最大值【答案】ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB正确；，所以，故C不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D正确.故选：ABD
题型六 裂项相消法例6 设是数列的前n项和，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2），然后利用分组求和法可求出答案.【详解】（1）由，且，可得时，，可得，时，，又，相减可得，即为，可得，则数列为首项和公差均为2的等差数列，则，；（2）
所以设数列满足，.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据递推公式，得到，即可证明数列是等差数列；（2）先由（1）求出，即，运用裂项求和法可求出数列的和.【详解】（1）证明：因为，所以，为常数.因为，所以，所以数列是以-1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以数列的前n项和.巩固提升1、设是等差数列的前n项和，若，则（）A．22B．26C．30D．34【答案】C【分析】由等差数列中，连续下标等间距的前n项和之差成等差数列知成等差数列，结合等差中项性质即可求.【详解】由等差数列的前n项和性质知：成等差数列，
∴由等差中项的性质：，又，∴，故选：C2、（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与均为的最大值【答案】BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.∵，，∴与均为的最大值，故D正确；故选：BD.3、（多选）设是等差数列，公差为d，前项和为，若，，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．【答案】ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；又，所以，故C不正确；又因为等差数列是单调递减数列，且，所以，所以，故D正确.故选：ABD.4、已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，则{an}的前5项和S5=__________.【答案】15【分析】由题意可得等差数列通项公式，结合可得前n项和公式，进而求即可.【详解】由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，知：公差，
∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为，∴由等差数列前n项和公式，即可得，故答案为：15.5、等差数列的前项和为，已知，则__.【答案】33.【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.【详解】因为等差数列的前项和为，，则，故答案为：33.6、在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________【答案】【分析】求出公差，与通项公式，由可得使取得最大值时的值．【详解】设公差为，则得，解得，，
由，，即，∴取得最大值时，．故答案为：9．7、等差数列中，，，则________【答案】38【分析】直接根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为等差数列中，，，所以，故答案为：38.8、设等差数列的前项和为，，则_______【答案】【分析】由可得，然后再根据等差数列的前n项和公式求解可得答案.【详解】因为，所以，，所以．故答案为：15.
9、等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值_____________.【答案】20【分析】由，可得，化为：．．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出．【详解】解：，，化为：．．则，故答案为：．10、已知数列的前项和为，若，则________【答案】【分析】已知与的关系式，利用即可求的通项公式.【详解】由已知条件，知：当时，；
当时，；当n=1时不满足上式，∴，故答案为：.11、已知等差数列的前项和为，且，，则取得最大值时_______.【答案】14【分析】设等差数列的公差为，由已知条件可求得数列的首项和公差，得到数列的通项公式，然后由等差数列的性质可得值.【详解】设等差数列的公差为，由已知条件可得，解得，故，故当时，；当时，，所以当时，取最大值.故答案为：1412、已知等差数列中，，是方程的两根，则_______.【答案】【分析】由韦达定理得，再根据等差数列的性质得.
【详解】解：根据题意，由韦达定理得：，根据等差数列角标和的性质得：，所以.故答案为：.13、已知等差数列中，是的前n项和，若，则的值是___________.【答案】2【分析】直接利用等差数列求和公式化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】.故答案为：2.15、设等差数列的前n项的和为，且，，求：（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件列式方程组求首项和公差，再求通项公式；（2）由通项公式得到数列的正负项的分界，再分情况讨论数列的前项和.【详解】设等差数列的首项和公差分别为和，，，解得：，所以数列的通项公式；（2），所以当，当时，，此时，当时，，此时，
综上可知数列的前项和为
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