人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义5.2《导数的运算》(含解析)

5.2导数的运算知识梳理1、基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝2、导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）3、复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.4、函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义：在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率。相应地，切线方程为： 知识典例题型一函数求导例1　已知函数，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】对函数求导，代入即得解.【详解】故选：C巩固练习已知函数，为的导函数，则的值为_______________.【答案】2【分析】由题意可得：，据此求解的值即可.【详解】由题意可得：，则.故答案为2．题型二求导运算例2　求下列函数的导数．（1）； （2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由导数的运算法则可求出；（2）由导数的运算法则可求出.【详解】（1）由导数的运算法则可得；（2）由导数的运算法则可得.巩固练习下列正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：,所以A不对，，所以B不对，所以C不对，是正确的，符合求导公式，故选D．题型三函数中含有导数值求导例3　已知，则（）A．2018B．C．2019D．【答案】B【分析】求出，令，即得. 【详解】，，令，.故选：.巩固练习已知函数,则（）.A．B．C．D．【答案】B【分析】先对原函数求导得,再将代入导函数即可得出结果.【详解】解:已知函数,求导可得,则.故选:B题型四含有参数的求导例4　若满足则等于_______．【答案】﹣2【分析】根据函数的求导法则求得，再由于得出导函数为奇函数，通过奇函数的性质可求得的值. 【详解】根据函数的求导法则得：，由于，所以导函数为奇函数，所以，故答案为.巩固练习已知函数，且，则的值为（）A．1B．C．-1D．0【答案】A【解析】由题意得，函数的导数为，因为，即，所以，故选A．题型五函数切线方程例5　已知，则曲线在点处的切线方程为________.【答案】【分析】求出导函数，令，求出，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出以及，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由，则，当时，，解得，所以，， 即，，所以曲线在点处的切线方程为：，即为.故答案为：巩固练习曲线在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】A【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.【详解】的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选A.题型六参数问题例6已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是____【答案】【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【详解】 由已知函数的导数为，，即，，，即答案为：．巩固练习若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.【答案】c=【解析】【试题分析】先求得，然后求得到，根据列方程求得的值.【试题解析】由于f(x)=,所以f(c)=,又f′(x)==,所以f′(c)=.由题意知f(c)+f′(c)=0,所以+=0,所以2c-1=0,得c=.　 巩固提升1、设，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B2、设函数f(x)＝，若，则a的值为(　　)A．B．C．D．【答案】D【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，解得故选D3、已知函数的导函数为，且，则（）A．-1B．C．D．1【答案】C【解析】，据此有 本题选择C选项.4、设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝(　　)A．0B．2C．4D．8【答案】A【解析】因为，所以，令得，解得，所以，故选A.5、曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】；所以，所以曲线在点处的切线的斜率是，设曲线在点处的切线的倾斜角是，则，因为，所以，故选B.6、下列结论不正确的是(　　)A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx【答案】D【解析】∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.故选D.7、下列四组函数中导数相等的是(　　)A．f(x)＝1与f(x)＝xB．f(x)＝sinx与f(x)＝－cosx C．f(x)＝1－cosx与f(x)＝－sinxD．f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3【答案】D【解析】　由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等.故选D.8、设则等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得.故选D.9、已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】，，解得，故，故答案为.10、求下列函数在指定点的导数：（1），；（2），．【答案】（1）（2）【分析】（1）由导数运算法则求导即可求解（2）由导数运算法则求导即可求解【详解】 （1），（2），11、设函数，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为，求a，b的值．【答案】【分析】利用导数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】f′（x）=aex﹣，∴f′（2）=，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=x，∴=，f（2）=+b=3，又a＞0，解得．