人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义4.1《数列的概念》(含解析)

4.1数列的概念知识梳理1、数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.（4）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．2、数列的分类(1)按照项数有限和无限分：(2)按单调性来分：3、数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．①并不是所有的数列都有通项公式；②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an 4、常用结论汇总——规律多一点（1）若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝（2）在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则（3）型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；（4）形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；知识典例题型一规律猜想例1　数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.故选：D已知数列，则是这个数列的（） A．第10项B．第11项C．第12项D．第21项【答案】B【分析】根据题中所给的通项公式，令，求得n=11，得到结果.【详解】令，解得n=11，故是这个数列的第11项.故选：B.题型二递推公式例2　在数列中，，（，），则（）A．B．1C．D．2【答案】A【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.【详解】，，， 可得数列是以3为周期的周期数列，.故选：A.已知为数列的前项和，若，且，则________.【答案】【分析】求得数列的周期，由此求得.【详解】由题意，，，，∴数列是周期数列，且周期为4.．故答案为： 题型三　累加法例3　在数列中，，，则的通项公式为（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式.【详解】由已知得，所以将上述个式子相加，整理的又因为，所以．故选A． 在数列中，且，，则的通项公式为__________．【答案】【解析】在数列中，，，上式相加：题型四　累乘法例4已知正项数列{an}中，a1＝1，(n＋2)·a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，n∈N*，则它的通项公式为(　　)A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝n【答案】　B【解析】　由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，得(n＋2)2＋－(n＋1)＝0， ＝0，因为{an}是正项数列，所以＋1>0，所以＝，则an＝··…··a1＝··…·×1＝.故选B.　若数列满足，，则______.【答案】【分析】由已知得，，由此利用累乘法能求出an．【详解】数列{an}满足，∴∴，，∴an＝，又时也满足；故答案为． 题型五　数列与函数例5　已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.【详解】解：，当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.已知数列的通项公式是，那么这个数列是A．递增数列B．递减数列 C．常数列D．摆动数列【答案】A【详解】因为因为函数单调递增，所以数列是递增数列．故选A．巩固提升1、数列满足，，则（）A．B．C．D．2【答案】B【分析】由递推关系，可求出的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出即可.【详解】由，可得，由，可得，，，， 由，可知数列是周期数列，周期为4，所以.故选：B.2、在数列中，，则＝（）A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：由题意得，，所以．3、在数列中，已知，则______.【答案】【分析】令，根据换元法求通项，即可得出结果.【详解】令，则，所以，所以， 当时，上式也成立，所以.故答案为：.4、已知数列满足:,则___________.【答案】0【分析】先由条件得，然后【详解】因为所以因为，且所以，即故答案为：05、数列，，，，中，开始出现负值的项是第______项.【答案】16【分析】根据数列特点得到数列的通项公式，再解不等式，求出的值.【详解】 因为数列，，，，，所以，当时，即，解得：且，所以数列开始出现负值的项是第.故答案为.6、在数列中，已知．若是的个位数字，则______．【答案】4【分析】写出前几项可发现数列是一个周期为6的数列，利用周期性计算即可.【详解】由题意，，且是的个位数字，∴根据以上的规律看出该数列是一个周期为6的数列，.故答案为4.