人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义4.4《数学归纳法》(含解析)

4.4数学归纳法知识梳理1、数学归纳法设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立．2、用数学归纳法证题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0＝0或n0＝1)时，命题{p(n)}正确；(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真；(3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈N*时，p(n)正确．知识典例题型一数学归纳法中项的问题例1　用数学归纳法证明的过程中，当从到时，等式左边应增乘的式子是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】观察从到时，等式左边的变化，通过比较可得出结果. 【详解】当时，等式左边，当时，等式左边，因此，当从到时，等式左边应增乘的式子为.故选：C.利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.【答案】【分析】考查等式两侧的特点，写出左侧和的表达式，进行比较，即可推出左边应增加的项．【详解】当时，等式为，当时，等式为，因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.故答案为：. 题型二数学归纳法例2　已知数列中，是的前项和且是与的等差中项，其中是不为的常数.（1）求.（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）；；（2）猜想：；证明见解析【分析】(1)由已知条件可得到，再把、、代入即可求出；(2)根据(1)的猜想出的表达式，然后利用数学归纳法证明猜想的结论是正确的.【详解】解：（1）由题意知：即，当时，，解得.当时，，解得.当时，，解得.（2）猜想：证明：①当时，由（1）知等式成立.②假设当时等式成立，即，则当时，又 则，，∴，即所以，即当时，等式成立.结合①②得对任意均成立.设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．【答案】（1），，，，；（2）证明见解析．【分析】（1）时，可求出，时，利用可得到关于的递推关系，即可求出，的值，进而猜想出的表达式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】 （1）当时，，∴，当时，，∴，∴，，猜想，；（2）下面用数学归纳法证明：①当时，，，猜想正确；②假设时，猜想正确，即，那么当时，可得，即时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数，都成立．巩固提升1、用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）A． B．C．D．【答案】C【分析】分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.2、对一切自然数，猜出使成立的最小自然数_______.【答案】3【分析】运用数学归纳法证明当时，对一切自然数成立,可得答案.【详解】当时，对一切自然数不成立；当时，对一切自然数不成立（如时，）；当时，对一切自然数成立,理由如下：当时，成立，假设当时成立，即， 当时，，而，所以对一切自然数成立.故答案为：3.3、已知数列的前项和为，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析.【分析】（1）分别令、、求出、、的值，进而可得出、、；（2）由（1）猜想得，将等式变形为，利用数学归纳法证明即可.【详解】（1），当时，，解得，即有；当时，，解得，则； 当时，，解得，则；（2）由（1）猜想可得数列的通项公式为．下面运用数学归纳法证明．①当时，由（1）可得成立；②假设，成立，当时，，即有，则，当时，上式显然成立；当时，，即，则当时，结论也成立．由①②可得对一切，成立．4、在数列中，，其中实数．（1）求的值并猜测数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜测．【答案】（1），，，猜测：.（2）见解析. 【分析】（1）计算后可猜测数列的通项为.（2）用数学归纳法证明即可.【详解】（1）由可以得到，，，猜测：.（2）用数学归纳法证明如下：当时，等式成立；设当时，有，则当时，，故当时，等式也成立，由数学归纳法可知，.