人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义5.1《导数的概念及意义》(含解析)

5.1导数的概念及意义知识梳理1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数（1）定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.（2）几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率2、函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.知识典例题型一增量例1　已知函数y＝f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　)A．3B．3Δx－(Δx)2C．3－(Δx)2D．3－Δx【答案】D【分析】先计算Δy，再求.【详解】Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，∴＝－Δx＋3.选D.巩固练习 已知函数的图像上的一点及邻近一点，则______．【答案】【分析】代入B点坐标解得,再求比值.【详解】∵，∴．题型二变化率例2　直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么为()A．从时刻到时，物体的平均速度B．从时刻到时位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度D．该物体在时刻的瞬时速度【答案】D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.巩固练习物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若Δt→0时，→9.8m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率【答案】C【分析】由函数瞬时变化率的定义知C正确．【详解】由函数瞬时变化率的定义知Δt→0时，表示物体在t＝1s这一时刻的速率，所以选C.题型三导数的概念例3　若，则=________.【答案】【详解】由极限的定义可得：，.故答案为：巩固练习已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝________.【答案】【分析】根据导数定义可得f′（0）=,即可得到答案.【详解】 f′（0）=故答案为-3题型四几何意义例4　函数y＝f（x）的图象在A（2，f（2））处的切线方程是y＝3x﹣1，则＝__．【答案】8【分析】由切线方程和导数的几何意义求出（2）和（2）的值，再相加即可．【详解】∵在点（2，f（2））处的切线方程为y＝3x﹣1，∴f（2）＝6﹣1＝5，f′（2）＝3，∴f（2）+f′（2）＝8，故答案为：8．巩固练习设为可导函数，，则在点处的切线斜率为（）A．2B．C．1D．【答案】C【分析】由导数的几何意义,求出在曲线上点处的导数,即求得在此点处切线的斜率.【详解】由已知得，函数在点处的切线的斜率为．故选：C.巩固提升 1、f(x)在x＝x0处可导，则(　　)A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关【答案】B【解析】由定义知函数在处的导数，只与有关故选2、已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为(　　)A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2·Δx【答案】B【解析】∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，∴＝－2－Δx，故应选B.3、函数y＝x2在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（　）A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定【答案】A【详解】由题意结合函数的解析式有：，，则，因为Δx可大于零，所以k1>k2. 4、已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2【答案】C【解析】＝2＋Δx.故应选C.5、在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④中，平均变化率最大的是(　　)A．④B．③C．②D．①【答案】B【解析】Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.6、蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率为_________.【答案】【分析】根据平均变化率定义求结果.【详解】∵＝－1.6(℃/min)，∴从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.7、将物体以速度v0(v0＞0)竖直上抛，ts时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．【答案】【分析】先计算,再根据Δt→0求. 【详解】因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以＝v0－gt0－gΔt.当Δt趋近于0时，趋近于常数v0－gt0.故物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.