专题07《数列》单元测试卷一、单选题1．（2020·高一期中）若数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，.故选：A.2．（2020·巴楚县第一中学高二期中（文））数列-1，3，-5，7，-9，11，x，15，-17…中的x等于（）A．12B．-13C．14D．-15【答案】B【解析】记该数列为.观察数列，可得，.故选：.3．（2020·高一期中）已知数列中，，，则等于 A．18B．54C．36D．72【答案】B【解析】数列中，，，数列是等比数列，公比．则．故选：B．4．（2020·北京五十五中高二月考）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于()
A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】依题意，由得，由于，所以时，取最小值.故选：A5．（2020·新疆维吾尔自治区高三其他（理））《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（）A．5.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺【答案】A【解析】设等差数列，首项为，公差为，根据题意得，，解得，所以.故选：A6．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列的前n项和为，满足，则的值为（）A．8B．16C．32D．81【答案】B【解析】当时，，解得，当时，即，
所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，所以.故选：B.7．（2019·全国高二期中（文））设数列的首项，且满足，，则数列的前项和为().A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，∴数列为等比数列，首项为2，又数列的前10项恰为数列的前项中的奇数项，其和为，又，由数列为等比数列，∴数列的前项中的偶数项和为，则S20＝．故选：C．8．（2019·全国高二期中（文））已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】设等比数列公比为当时，，不符合题意，当时，，得，又，
由，得，，故选D.二、多选题9．（2020·江苏省如皋中学高一开学考试）已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（）A．B．C．最小D．【答案】ABD【解析】因为是等差数列，所以，所以即，即所以所以正确的有ABD故选：ABD10．（2020·河北省沧州市一中高一月考）已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为C．数列为递增数列D．数列为递增数列【答案】AD【解析】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD11．（2020·河北省高一期中）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若 ， ，则下列说法正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】∵，且公比为整数，∴，，∴，或（舍去）故A正确，，∴，故C正确；∴，故数列是等比数列，故B正确；而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．故选：ABC.12．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（）A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列B．若数列为等差数列，，，则的最大值在或7时取得C．若数列为等比数列，则恒成立
D．若数列为等比数列，则也为等比数列.【答案】ABC【解析】对于A：若数列为等差数列，恒成立，则公差，故为递增数列，故A正确；对于B：若数列为等差数列，，设公差为，由，得，即，故，所以，当时，，，故的最大值在或7时取得，故B正确；对于C：若数列为等比数列，则恒成立，故C正确；对于D：若数列为等比数列，则，所以不是常数，故不是等比数列，故D错误.故选：ABC.三、填空题13．（2020·北京五十五中高二月考）等比数列{an}的前n项和为．已知，则{an}的通项公式____，____．【答案】2【解析】14．（2020·辽宁省高三二模（理））已知数列为等差数列，成公比不为1的等比数列，且，则公差_____.【答案】【解析】
由数列为等差数列，，，成公比不为1的等比数列，可得，即，且，化为，由，可得，解方程可得，，故答案为：．15．已知等差数列的公差，记的前项和为，则的最小值为_____.【答案】【解析】设数列的首项为，由题意得解得所以；由，解得，所以，所以的最小值为.故答案为：.16．（2020·全国高三其他（理））已知是公差不为零的等差数列，为其前项和．若成等比数列，且，则数列的前项和为______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，，，，所以，整理得．，．，则，．故答案为：四、解答题17．（2020·河北省高三其他（理））设等差数列{an﹣bn}的公差为2，等比数列{an+bn}的公比为2，且a1＝2，b1＝1．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{2an+2n}的前n项和Sn．【答案】（1），（2）【解析】（1），，∴，.联立解得：.（2）∴数列的前项和.18．（2019·全国高二期中（文））为正项数列的前项和．已知,(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】(1)由，①可知②②－①，得由，得又，解得(舍去)或.所以是首项为2，公差为1的等差数列，通项公式为.(2)由可知
＝设数列前项和为，则＝＝.19．（2019·全国高三二模（文））已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，.因为，所以，所以.因为，所以.两式相减，得，即又因为，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.（2）由（1）可知故当为偶数时，当为奇数时，
所以20．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】（1）设数列公差为成等比数列（舍）或.（2）令.
21．（2020·毕节市实验高级中学高二期中（文））已知数列的首项，.（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前项和.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】（1），，，又，，数列是以首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，即，.设，①则，②由①②得
，.又.数列的前项和.22．（2017·浙江省高三其他）已知数列中，，．求，，﹔猜想的表达式并给出证明；记，证明：．【答案】，，；，证明见解析；证明见解析.【解析】时，，；时，，；时，，，；；．猜想．证明：①时，成立，时，成立；②不妨设时成立，即，下证时成立，
即证．由题意，，，，，，即时成立，．当时，；当时，，．
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