专题3等比数列一、单选题1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列的前项和为，，，则（）A．31B．15C．8D．7【答案】B【解析】由于数列是等比数列，故，由于，故解得，所以.故选：B.2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列中，已知，那么（）A．4B．6C．12D．16【答案】A【解析】由,所以,则.故选A.3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A．B．512C．1024D．【答案】A【解析】...解得:..
故选:A4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列中，已知，，则（）A．128B．64C．64或D．128或【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由，解得，当时，，得，则；当时，，得，则.综上或，故选：D.5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列的公差为,若成等比数列,则等于()A．9B．3C．-3D．-9【答案】D【解析】因为成等比数列，所以，所以，又因为，所以，则，故选：D.6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列的前项和为，，则（）A．2B．0C．D．【答案】A【解析】
,;或；等比数列公比不能为0，故选：A7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】由题意，可知这堆货物的总价为，则，两式相减可得：
，所以，当时，解得：.故选：B8．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列的前项和为，是与的等比中项，则的值为（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】设数列的公比为，则由，得，易知，所以解得或，当时，，这与是与的等比中项矛盾，当时，由是与的等比中项，得，即，所以，故选：B.二、多选题9．（2018·山东省高二学业考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的最大值为【答案】AD
【解析】①,与题设矛盾.②符合题意.③与题设矛盾.④与题设矛盾.得，则的最大值为.B，C，错误.故选：AD.10．（2019·临沭第一中学高二开学考试）已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为数列是公比为的等比数列,则,对于选项A,,因为不是常数,故A错误；对于选项B,,因为为常数,故B正确；对于选项C,,因为为常数,故C正确；对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误.故答案为:BC11．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，解得，对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于，所以B不正确；对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于，所以D正确，故选：ACD12．（2019·山东省高三月考）已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】成等比数列，设公比为.，，整理得，即.
令，则.由，得或；由，得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.的极大值为，极小值为.又，在区间上有一个零点.即时，，.，等比数列中，均为负数，均为正数..故选：.三、填空题13．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）两个数等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________.【答案】【解析】设这两个数为，因为两个数等差中项是20，等比中项是12，所以或，即这两个数为，答案为：．14．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列中，，，则________.【答案】12
【解析】设等比数列公比为,则.故.故答案为：1215．（2020·湖南省高三三模（理））在数列中，，且，则__________.【答案】【解析】因为，，所以，故数列是以2为首项、2为公比的等比数列，由等比数列前n项和公式可得，.故答案为：16．（2020·高一月考）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．（结果保留一位小数，参考数据：，）【答案】2.6．【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．莞（植物名）的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为．则，令，化为：，
解得或（舍去）．即：.所需的时间约为日.四、解答题17．（2020·江西省高二月考（理））已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列。(1)求的通项公式。(2)求数列的前n项和。【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，得，，所以由，得，解得，所以，即。（2）由（1）知，则，，
。18．（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）已知等差数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和Tn.【答案】(1);(2)【解析】(1)设公差为d，则解得：∴所以数列的通项公式为;(2)由(1)得∴19．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列的前项和满足，(为常数，且，).（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值.【答案】（1）.（2）
【解析】（1）因为，所以.当时，，整理得，即数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.（2）由（1）知，(*)由数列是等比数列，则，所以，解得，再将代入(*)式得，故数列为等比数列，所以.20．（2020·广东省高三一模（文））已知数列的前n项和为Sn，且满足，设．（1）求；（2）判断数列是否是等比数列，并说明理由；（3）求数列的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）数列是等比数列，理由见解析；（3）．【解析】（1），解得．，解得．，解得．
（2）时，，相减可得：，变形为：由．可得：．∴数列是等比数列，首项为，公比为．（3）由（2）可得：则．．21．（2019·福建省高三月考（文））设数列前项和为，且满足．（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）当时，，，当时，，与已知式作差得，即，又，∴，∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴．22．（2020·宁夏回族自治区银川九中高三二模（文））在数列中，，，（且）.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）证明：∵，∴，又，，；∴（，且），故数列是首项和公比都是2的等比数列；（2）解：由（1）可得，则（，且），
故（，且），当时，满足上式，∴.
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