人教版高中数学选择性必修第二册专题04《数列的求和》(解析版)

专题4数列的求和一、单选题1．（2019·高二期中（理））数列的前n项和为，若，则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】,.故选：C2．（2018·甘肃省武威十八中高二课时练习）化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵Sn=n+（n﹣1）×2+（n﹣2）×22+…+2×2n﹣2+2n﹣1①2Sn=n×2+（n﹣1）×22+（n﹣2）×23+…+2×2n﹣1+2n②∴①﹣②式得；﹣Sn=n﹣（2+22+23+…+2n）=n+2﹣2n+1∴Sn=n+（n﹣1）×2+（n﹣2）×22+…+2×2n﹣2+2n﹣1n+2﹣2n+1=2n+1﹣n﹣2故答案为：D3．（2020·江西省江西师大附中高三月考（理））数列的前项和的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ,故选：A4．（2019·福建省高三期中（文））等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A．-10B．-20C．10D．20【答案】D【解析】，解得，所以，故选D．5．（2020·珠海市第二中学高一开学考试）已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（）A．2019B．2021C．2022D．2023【答案】D【解析】由，，所以，，，所以数列是以为周期的数列，，所以.故选：D6．（2018·厦门市华侨中学高二期中）已知等比数列的前项和为，若，则数列 的前项和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，不成立，当时，，两式相除得，解得：，即，，，，两式相减得到：，所以，故选D.7．（2019·福建省厦门第六中学高二期中（理））已知数列满足，则数列的最小值是A．25B．26C．27D．28【答案】B【解析】因为数列中，，所以，，，，上式相加，可得，所以，所以，当且仅当，即时，等式相等，故选B．8．（2020·江苏省高二期中）设函数，利用课本中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（） A．B．C．D．【答案】B【解析】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.二、多选题9．（2020·海南省高三其他）已知数列的首项为4，且满足，则（）A．为等差数列B．为递增数列C．的前项和D．的前项和【答案】BD【解析】由得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；因为，，所以，故， 故C错误；因为，所以的前项和，故D正确.故选：BD10．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn＜2019时，n的取值可以是下面选项中的（）A．8B．9C．10D．11【答案】AB【解析】由题意，an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，，2•2n﹣1﹣1＝2n﹣1，则数列{cn}为递增数列，其前n项和Tn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+…+2n）﹣n2n+1﹣2﹣n．当n＝9时，Tn＝1013＜2019；当n＝10时，Tn＝2036＞2019．∴n的取值可以是8，9．故选：AB11．（2020·山东省高二期末）已知数列满足，，则下列结论正确的有（）A．为等比数列B．的通项公式为C．为递增数列D．的前项和 【答案】ABD【解析】因为，所以，又，所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，为递减数列，的前项和.故选：ABD12．（2019·高二月考）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有()A．数列的前10项和为100B．若成等比数列，则C．若，则n的最小值为6D．若，则的最小值为【答案】AB【解析】由已知可得:,,,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;成等比数列,则,即,解得故B正确;因为所以 ,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.故选:AB.三、填空题13．（2020·高三三模（理））等差数列的前n项和为，，则_____.【答案】【解析】，，故，故，.故答案为：.14．（2020·全国高三月考（文））已知数列满足：，，则数列的前项和__________.【答案】【解析】由已知，，当时，，又满足上式，所以，. 故答案为：15．（2020·安徽省高三一模（理））已知数列中，，，记为的前n项和，则=____________.【答案】【解析】因为，，所以.又，所以数列的奇数项是以为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以为首项，2为公比的等比数列.故.故答案为：.16．（2020·山东省高二期中）已知数列满足，，设的前项和为，则__________，__________．【答案】1010【解析】由，，有，…………则数列是以3为周期的数列.又，所以，故答案为：(1).(2).1010四、解答题 17．（2019·全国高一课时练习）设函数，计算.【答案】2011【解析】解：由已知，，设，，即18．（2020·福建省高三其他（文））已知数列为递减的等差数列，，为方程的两根．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】设等差数列的公差为d，因为，为方程的两根，且数列为递减的等差数列， 所以，所以，所以，即数列的通项公式为．（2）由（1）得，所以，所以数列的前n项和．19．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列是等差数列,其前项和为,.（1）求数列的通项公式；（2）求和：.【答案】（1）.（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d,则有：,,,所以数列的通项公式为：.（2）由（1）可知：,∴,∴ 20．（2020·高一期中）数列满足：，且.（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由，得，又数列是首项为4，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，由，，，…，，，.21．（2020·高一期中）已知等差数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，首项为，∵ ∴即，解得∴的通项公式为（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴①①式两边同乘以，得②①-②得∴22．（2011·安徽省高三一模（文））设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；【答案】解：（1），；（2）是等差数列.【解析】（1）∵，且f（x）是奇函数∴∴，故因为，所以．令，得，即．（2）令 又两式相加．所以，故，又．故数列{an}是等差数列．