人教版高中数学选择性必修第二册专题02《等差数列》(解析版)

专题2等差数列一、单选题1．（2020·高一月考）在等差数列中，已知，则该数列前9项和（）A．18B．27C．36D．45【答案】D【解析】在等差数列中，，所以.故选：D2．（2020·江苏省如皋中学高一月考）在等差数列中，，，则的值是（）A．49B．50C．51D．52【答案】D【解析】在等差数列中，，，则公差，所以.故选：D.3．（2020·湖南省高三三模（理））《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（）A．2.5斤B．2.75斤C．3斤D．3.5斤【答案】D【解析】由题意可知，斤，斤，则公差斤，故斤. 故选:D.4．（2020·北京理工大学附属中学通州校区高二期中）记为等差数列的前n项和．已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．详解：由题知，，解得，∴，故选A．5．（2020·福建省高二期末）等差数列的前项和为，若，则（）A．51B．50C．49D．48【答案】C【解析】设等差数列的公差为，首项为，所以，解得：所以.故选：C6．（2019·福建省高三月考（文））已知是等差数列的前项和，，，则（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为， 所以，故，，故选C.7．（2020·高一月考）等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（）时，最大.A．B．C．D．【答案】C【解析】等差数列中，前项和为，且，，即，，，所以，，则，因此，当时，最大.故选：C.8．（2020·高一期中）已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】，，，，.，.故选：D. 二、多选题9．（2020·山东省高二期末）设等差数列的前项和为．若，，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】设等差数列的公差为，则，解得，，.故选：AC.10．（2020·尤溪县第五中学高一月考）设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（）A．，B．，C．S5＞S6，D．S7或S8为Sn的最大值【答案】ABD【解析】根据题意可得，数列是等差数列，a1＞0，公差，所以数列是单调递减数列，对于A、B，，，显然成立，对于C，由，则，故C不正确；对于D，由，则，又数列为递减数列，则S7或S8为Sn的最大值，故D正确；故选：ABD11．（2020·寿光市第二中学高三月考）记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（） A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，所以，故选：AC.12．（2020·诸城市教育科学研究院高二期中）已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（）A．数列中的最大项为B．数列的公差C．D．【答案】BCD【解析】，故，且，故数列中的最大项为，错误；数列的公差，正确；，正确；，正确；故选：.三、填空题13．（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）已知是等差数列，且，，则________【答案】【解析】依题意，解得. 故答案为：14．（2020·北京市第四十四中学高二期中）设等差数列的前项和为，，则______.【答案】【解析】数列为等差数列，，.故答案为：.15．（2019·全国高三月考（文））等差数列的前项和为，，，则______.【答案】【解析】不妨设数列的公差为，故可得，，即，解得.故可得.故答案为：.16．设等差数列的前项和为，若，则_____；的最大值为_____．【答案】7264【解析】设等差数列的公差为，则，即，所以，，则，， 所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为64．故答案为：72；64.四、解答题17．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）在等差数列{an}中，a1>0，3a4=7a7，求Sn取得最大值时n的值.【答案】9【解析】设等差数列{an}的公差为，因为a1>0，3a4=7a7，化为即，则，，所以前9项和最大.即Sn取得最大值时n的值为9.18．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4【解析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．19.（2020·福建省高三月考（文））为数列{}的前项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式； （Ⅱ）设,求数列{}的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn（），∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.20．（2020·高一月考）已知数列的前项和为,满足,且.(1)令,证明:；(2)求的通项公式.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：∵Sn=n2an﹣n2（n﹣1），∴n≥2时，Sn=n2（Sn﹣Sn﹣1）﹣n2（n﹣1），化为：Sn﹣=n，∵bn=，∴bn﹣bn﹣1=n（n≥2）．（2）解：b1=2a1=1． ∴bn=n+（n﹣1）+……+2+1=．∴bn==，可得Sn=．∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=（n≥2），n=1时也符合．∴an=．21．（2020·湖北省高三三模（文））已知等差数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.【答案】（1）（2）10【解析】设差等数列公差为，依题意有.解之得，则，故的通项公式为：.（2）由，得，所以，即，由，故，故取最大值时的值为10.22．（2020·高一期中）设等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，即，所以，解得，所以.（2）因为，所以.