人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2《函数的极值与最大（小)值》（2）教学设计

5.3.2函数的极值与最大(小)值（2）本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。。课程目标学科素养A.了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；B．掌握求函数最值的方法及其应用；C．体会数形结合、化归转化的数学思想．1.数学抽象：求函数最值的方法2.逻辑推理：函数极值与最值的关系3.数学运算：运用导数求函数的最值4.直观想象：最值与极值的关系重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标一、温故知新1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时：如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)0，那么f(x0)为极小值；二、探究新知我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：那么f(x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的最值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。 1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断问题1：函数的极值与最值的区别是什么？函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f(x)的______与____处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．极值；各极值；端点；最大值；最小值1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　)(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　)(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小值就是最大(小)值．(　　)(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点．(　　)解析：　(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．通过特例，体会函数极值与最值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。 (3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．(4)正确．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√三、典例解析例6:求在[0,3]的最大值与最小值.解：因为令0,解得：又因为f(0)=4,f(3)=1所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值-.求函数最值的着眼点(1)从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.(2)单调区间取端点,当图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1.　求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈.[解]　(1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数最值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。 从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝，又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±.∴x＝±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为f＝－，f＝－＋.又f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.例7:给定.（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图像；（3）求出方程=()的解的个数.解：（1）函数的定义域为因为令0,解得：、的变化情况如表所示所以，在区间上单调递减，在区间 上单调递增。当时，有极小值=（2）令=0，解得：当时，0;当时，0.所以的图像经过特殊点A(),B,C.当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而当时，,根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程=()的解的个数为函数的图像与直线的交点个数。由（1）及图可得，当时，有最小值所以，方程=的解得个数有如下结论；当