人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3《简单复合函数的导数》（教学设计）

5.2.3简单复合函数的导数本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习简单复合函数的导数本节内容通对复合函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.了解复合函数的概念．B．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．1.数学抽象：复合函数2.逻辑推理：复合函数的求导法则3.数学运算：复合函数的求导重点：复合函数的概念及求导法则难点：复合函数的导数多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标一、新知探究探究1.如何求解析：方法一：=若求的导数呢？还有其它求导方法吗？探究2.如何求分析：函数初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点如果过程可表示为1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__________．y＝f(g(x))思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 [提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．探究3：求函数分析：令,得以表示对的导数，表示对的导数，一方面，==22另一方面=，=2可以发现2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于________________________________．y′u·u′x;y对u的导数与u对x的导数的;乘积1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sinu，u＝πx．(  )(2)f(x)＝ln(3x－1)则f′(x)＝．(  )(3)f(x)＝x2cos2x，则f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．(  )[提示] (2)中f′(x)＝.(3)中，f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.[答案] (1)√ (2)× (3)×2．函数y＝的导数是(  )A．B．C．－D．－C [∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]3．下列对函数的求导正确的是(  )通过对复合函数的概念及求导法则的推导。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。 A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝C．y＝cos，则y′＝sinD．y＝22x－1，则y′＝22xln2D [A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin，∴C错误；D中y′＝22x－1ln2×(2x－1)′＝22xln2.故D正确．]二、典例解析例6.求下列函数的导数（1）（2）(3)解：（1）函数==3=（2）函数===（3）函数通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。 ===1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝.[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)∵(ln3x)′＝×(3x)′＝.∴y′＝＝＝.例7某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间 (单位:s)的函数满足关系式.求函数在时的导数，并解释它的实际意义。解：可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，有===当=3时，它表示当=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝cos；(2)y＝x2＋tanx.[思路探究] 先将给出的解析式化简整理，再求导．[解] (1)∵y＝cos＝cossin－cos2＝sinx－(1＋cosx)＝(sinx－cosx)－，∴y′＝＝(sinx－cosx)′＝(cosx＋sinx)．(2)因为y＝x2＋，所以y′＝(x2)′＋＝2x＋＝2x＋.三角函数型函数的求导要求对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导. 复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.三、达标检测1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(  )A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[答案] A2．函数y＝x2cos2x的导数为(  )A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2xB [y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________. [f′(x)＝×(3x－1)′＝，∴f′(1)＝＝.]4．已知f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线斜率是________．－ [∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f′(2)＝－.根据导数的几何意义知f(x)在x＝2处的切线斜率为k＝f′(2)＝－.]5．求下列函数的导数：(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝x.[解] (1)令u＝3x－2，则y＝10u.所以y′x＝y′u·u′x＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu.∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝.(3)y′＝(x)′＝＋x()′＝＋通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 ＝.6.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是?解：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.四、小结1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．2．和与差的运算法则可以推广[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。从问题出发，引导学生探究复合函数的求导问题，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。