人教版高中数学选择性必修第二册5.2.2《导数的四则运算法则》（教学设计）

5.2.2导数的四则运算法则本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的四则运算法则本节内容通对导数的四则运算法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.理解函数的和、差、积、商的求导法则．B．能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．1.数学抽象：和、差、积、商的求导法则2.逻辑推理：和、差、积、商的求导法则3.数学运算：运用导数运算法则求函数的导数重点：函数的和、差、积、商的求导法则难点：综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标一、新知探究在例2中，当=5时，这时，求关于的导数可以看成求函数一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？探究1：设计算与和有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？设，因为=====而=,=,所以=+同样地，对于上述函数，=例3.求下列函数的导数（1）（2）解：（1）（2）通过对上节例题的提问，引导学生探究导数的四则运算法则。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 探究:2：设计算，它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商呢？通过计算可知，=，=，同样地也不相等导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝____________________；②[cf(x)]′＝________．(3)商的导数′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);cf′(x);(g(x)≠0)二、典例解析例4.求下列函数的导数（1）（2）解：（1）（2）求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．通过对导数四则运算法则的运用。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。 跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝.[解]　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝′＝＝＝－.跟踪训练2求下列函数的导数（1）y＝tanx；（2）y＝2sincos解析：（1）y＝tanx＝，故y′＝＝＝.（2）y＝2sincos＝sinx，故y′＝cosx.例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为所需费用（单位：元），为求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1）90；（2）98解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握导数的运算法则，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。 （1）因为所以，进化到纯净度为90时，净化费用的变化瞬时率是元/吨.（2）因为所以进化到纯净度为90时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.例6　(1)函数y＝3sinx在x＝处的切线斜率为________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．(1)[解析]　由函数y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝.[答案]　(2)[解]　①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a