人教版高中数学选择性必修第二册分层练习5.2.1《基本初等函数的导数》（解析版）

5.2.1基本初等函数的导数[A级　基础巩固]1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　)A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．不确定解析：选B　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　　)A．1B．2C．eD.解析：选A　由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.3．曲线y＝sinx在x＝0处的切线的倾斜角是(　　)A.B.C.D.解析：选D　由题意知，y′＝cosx，∴y′＝cos0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tanα＝1，∵α∈[0，π)，∴α＝.4．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析：选B　∵s′＝t.∴当t＝4时，s′＝×＝.5．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C　∵y＝lnx的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.6．曲线y＝lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y′＝(lnx)′＝，∴y′|x＝e＝.∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.答案：　x－ey＝07．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，又∵y′＝(lnx)′＝，∴＝2，解得x＝.∴切点的坐标为.故切线方程为y＋ln2＝2.即2x－y－1－ln2＝0.答案：2x－y－1－ln2＝08．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点， ∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．答案：(0，－a2)9．求下列函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝2cos2－1.解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(xα)′＝n·xα－1，∴y′＝()′＝′＝x＝x＝.(3)∵y′＝(ax)′＝ax·lna，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点M，与PQ平行的切线方程为：y－＝x－，即4x－4y－1＝0.[B级　综合运用]11．(多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　)A．(1,1)B．(－1，－1)C.D.解析：选AB　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，则点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)A.B. C.D．1解析：选B　对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.13．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．解析：∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.答案：414．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P的坐标为(x0，x)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.[C级　拓展探究]15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点． ∵y′＝′＝－.∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝··|2x0|＝2a2.即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.