人教版高中数学选择性必修第二册分层练习4.2.2《第1课时等差数列的前n项和公式》（解析版）

4．2.2　第一课时　等差数列的前n项和公式[A级　基础巩固]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　)A．49　　　　　　　　　　B．42C．35D．28解析：选B　2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为(　　)A．4D．C．－4D．－解析：选A　由S5＝＝＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝＝4.故选A.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)A．765B．665C．763D．663解析：选B　∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)A．1B．－1 C．2D．解析：选A　＝＝＝＝·＝1.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)A．9B．10C．19D．29解析：选B　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝.答案：7．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.答案：27 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得3(a1＋3d)＝1，所以a4＝.答案：9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则　解得∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，求a2＋a3－a4＋a5＋a6.解：∵Sn＝n2－2n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)]＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，∴a2＋a3－a4＋a5＋a6＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)－a4＝2a4＋2a4－a4＝3a4＝3×(2×4－3)＝15.[B级　综合运用] 11．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为(　　)A．15B．24C．18D．28解析：选C　设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以＝5，解得n＝18.12．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则(　　)A．a1＋a3＝0B．a3＋a5＝0C．S3＝S4D．S4＝S5解析：选BC　由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.13．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝________，a100＝________.解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9.又∵am＝a1＋d(m－1)，∴＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵＝135，∴m＝15，∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101. 答案：15　10114．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an＞0，且Sn＝a＋an－.(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．所以4an＝a－a＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)．所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.[C级　拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得(t∈N*且≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且≤t≤67)，各项之和为67×9＋×12＝27135.