人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)拓展二《数列求和的方法》（解析版）

拓展二数列求和的方法思维导图 常见考法 考点一裂项相消【例1】（2020·云南弥勒市一中月考（理））若数列的前项和满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析（2）【解析】证明：当时，，计算得出，当时，根据题意得，，所以，即，即数列是首项为-2，公比为2的等比数列由（1）知，，1则【一隅三反】1．（2020·湖南天心·长郡中学月考（文））设数列满足：，且（），. （1）求的通项公式：（2）求数列的前项和.【答案】（1）（）（2）【解析】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,因为,所以,解得,所以的通项公式为:();(2)由(1)知,所以数列的前项和:.2．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）设等差数列的公差为（），因为，且成等比数列，所以，即， 解得（舍去）或，所以，（2）由（1）可得，所以考点二错位相减【例2】．（2020·贵州省思南中学月考）已知数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）时，有，即，故，又时也适合该式，（2）因为，所以①则②①-②得，.【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足 ，且，，恰为等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：．【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）由题意，，得，由，得，．所以．由，，得公比，所以．（2）因为，所以①得②①-②得．所以．从而．2．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时，==4；当时，，且亦满足此关系，∴的通项为，设的公比为，则，则，∴；（2）由题意，，而，，两式相减，有，．3．（2020·江苏泗阳·桃州中学月考）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，而，∴数列是等比数列，公比为1，首项为1，∴，∴； （2）由（1），设，则，两式相减得，∴，∴．考点三分组求和【例3】．（2020·赣榆智贤中学月考）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.若，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由,，则，设等差数列的公差为，则，所以，所以设等比数列的公比为由，，解得， 所以，（2），数列的前项和【一隅三反】1．（2020·河南高二月考）已知数列的前项和，在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设数列的公差为，则，，∵，，成等比数列，∴，即．整理得，解得（舍去）或，∴．当时，，当时，．验证：当时，满足上式，∴数列的通项公式为．（2）由（1）得，，∴ ．2．（2020·河南高二月考（理））已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，则，，由于是和的等差中项，即，即，解得.因此，数列的通项公式为；（2），.3．（2020·）已知等比数列的各项均为正数，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设公比为由题意可知，整理得，解得（舍），，即则（2） 考点四倒序相加【例4】．（2020·全国高三其他（文））已知函数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知：令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：【一隅三反】1．（2020·江苏高二期中）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】， ，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.2．（2019·浙江丽水·高二月考）已知函数，则的值为（）A．4033B．-4033C．8066D．-8066【答案】D【解析】，所以原式.3．（2020·江苏常熟中学月考）已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以所以因为 所以，所以则数列的前2018项和则所以所以又故选：考点五奇偶并项【例5】．（2020·湖南高二月考）设，数列的前项和为，已知，______.请在①，，成等比数列，②，③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项的和.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选①，（1）由得：，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.由，，成等比数列得，解得.∴.（2）， .选②，（1）由得，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.由得，解得，∴.（2），∴.选③，（1）同理，由得，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，由得，解得，∴.（2），∴.【一隅三反】．1（2019·广东汕头·金山中学高二月考（理））设是数列的前n项和，已知，⑴求数列的通项公式；⑵设，求数列的前项和． 【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以当时，两式相减得，所以当时，，，则所以数列为首项为，公比为的等比数列，故（2）由（1）可得所以故当为奇数时，当为偶数时，综上2．（2020·期中（理））已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，.因为，所以，所以. 因为，所以.两式相减，得，即又因为，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.（2）由（1）可知故当为偶数时，当为奇数时，所以考点六绝对值求和【例6】．（2020·高二期中（理））已知数列的通项公式，则（  ）A．150B．162C．180D．210【答案】B【解析】由对勾函数的性质可知：当时，数列为递减；当时，数列为递增．所以=== =162【一隅三反】1．（2020·广东宝安·高二期末）已知是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，则数列前10项和为()A．58B．56C．50D．45【答案】A【解析】是首项为32的等比数列,是其前n项和,且,所以公比不为1，,,,,,数列前10项和为,故选：A