人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)5.3.1《函数的单调性》（解析版）

5.3.1函数的单调性思维导图 常见考法 考点一求函数的单调区间【例1】（1）（2020·福建省泰宁第一中学高二月考（文））函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．（2）．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是（）A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(0，＋∞)【答案】（1）D（2）D【解析】（1）函数的定义域为，由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：D（2）因为，所以，令，解得：，即函数的增区间为，故选：D.【一隅三反】1．（2020·江苏省高二期中）函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数的定义域为，则， 令，解得，所以，函数的单调递增区间为.故选：C.2．（2020·玛纳斯县第一中学高二期末（理））函数的单调递减区间是（）A．B．C．，D．，【答案】A【解析】因为函数，所以函数的定义域为，求出函数的导数：，；令，，解得，所以函数的单调减区间为故选：．3．（2020·河南高三月考（文））已知，则函数的单调减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，，且的定义域为，则，令，则，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为：，故恒成立，故在上恒成立，所以在上单调递减，即函数的单调减区间为.故选：D.考点二已知单调性求参数【例2】（1）（2020·北京高二期末）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（） A．B．C．D．（2）．（2020·山东德州·高二期末）若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）A【解析】∵函数在内单调递增，∴当时，恒成立，即，∴，即a的取值范围为，故选：D.（2），，若在上不单调，则在上有变号零点，又单调递增，，即，解得．的取值范围是．故选：．【一隅三反】1．（2020·广东汕尾·高二期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，函数在上单调递增，可得在上恒成立，即在上恒成立，令，根据二次函数的性质知，函数在单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围是.故选：B．2．（2020·广东禅城·高二月考）已知函数在区间 上是增函数，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，因为函数在区间上是增函数，所以在上恒成立，得恒成立因为，当且仅当，即时取等号，所以，故选：D3．（2020·甘肃城关·高二期中（理））若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为在区间内存在单调递增区间，所以在区间上成立，即在区间上有解，因此，只需，解得.故选D4．（2020·重庆高二期末）若函数在上单调递增，则实数 的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数得，由题意可得恒成立，即为，设，即，当时，不等式显然成立；当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，综上可得实数的取值范围是，故选：A.考点三单调性与图像【例3】（2020·辽宁高二期末）函数的图象大致是()A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD， 且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.【一隅三反】1．（2020·陕西秦都·高二月考（理））函数的图象大致是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】由题得，，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，取最大值，，则选项正确.故选：2．（2020·江西高二期末（文））已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.71828…)，则f(x)的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，当时，，故排除A、D，又，当时，，所以在为减函数，故排除B,故选：C. 3．（2020·四川省绵阳高二开学考试（理））已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象可得：当时,,∴,即函数单调递增；当时,,∴,即函数单调递减；当时,,∴,即函数单调递减；当时,,∴,即函数单调递增,观察选项,可得C选项图像符合题意.故选：C.考点四利用单调性解不等式【例4】（2020·于洪·分校高二期末）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D． 【答案】B【解析】设，，则，∵当时，有恒成立，∴当时，，在上单调递增，∵是定义在上的偶函数，∴，即是定义在上的奇函数，∴在上也单调递增.又，∴，∴.不等式的解可等价于即的解，∴或，∴不等式的解集为.故选：B. 【一隅三反】1．（2020·古丈县第一中学高二月考）已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知函数是上的单调递减函数，且当时，，据此可得：，即恒成立，令，则，据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，则， 据此可得：实数的取值范围是．故选：．2．（2020·河北省玉田县第一中学高二期末）已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【解析】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得，，的解集为，故选B.3．（2020·青海高二期末（理））已知函数满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的定义域是，，故在递增，，， 解得：或，故选：．考点五利用单调性比较大小【例5】．（2020·四川阆中中学高三开学考试（理））已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，则，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故时，，而，，所以.故选：D【一隅三反】1．（2020·黑龙江工农·高二期末（理））对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（  ）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数，则， ∵，∴，即在上为增函数，由，即，即，故A正确；，即，即，故B正确；，即，即，故C正确；由，即，即，即，故错误的是D．故选D．2．（2020·陕西莲湖·高三月考（理））若则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数，，所以时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，又，与，所以将不等式两边取自然对数得，故选：A．