人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)5.3.2《极值与最值》（解析版）

5.3.2极值与最值思维导图常见考法考点一求极值及极值点 【例3】（2020·安徽滁州·高二期末（理））已知函数在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】（1），切线为，即斜率，纵坐标即，，解得，解析式（2），定义域为得到在单增，在单减，在单增极大值，极小值.【一隅三反】1．（2020·重庆高二期末）函数的极小值点为___________．【答案】2【解析】因为，所以，令，得，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以在时取得极小值，故填：2.2．（2020·广东云浮·高二期末）函数的极大值为__________．【答案】 【解析】依题意得.所以当时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，函数有极大值．故答案为：.3．（2020·四川内江·高二期末（文））已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）或.【解析】（1），定义域为，.令，解得或；令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值为，极小值为；（2）令，解得或，，，所以，切点坐标为或，则有或，解得或.考点二求最值点最值【例2】．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（文））已知函数f（x）=x2（x-1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．【答案】(1)的递增区间为，递减区间为． (2)最大值，最小值．【解析】（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．【一隅三反】1．（2020·四川射洪中学高二期中（文））已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值．【答案】（1），；（2）13【解析】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即，又由，则，而由切线的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，． (2)由(1)知，则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：－3－21＋0－0＋8↗极大值↘极小值↗4∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为13．2．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数().（1）若，求在上的最小值和最大值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值是，最大值是；（2）.【解析】（1），由得，解得，∴，令，即，解得或，极小值∴在上的最小值是，最大值是； （2）由题意得：在区间上恒成立，∴，又当时，是增函数，其最小值为，∴，即实数的取值范围是.3．（2020·山东中区·济南外国语学校高二月考）设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）增区间，，减区间，极大值，极小值．（2）最大值，最小值．【解析】（1）∵点在函数的图象上,∴,解得,∴,∴,当或时,,单调递增;当时,,单调递减.∴当时,有极大值,且极大值为,当时,有极小值,且极小值为（2）由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴,又,,∴考点三已知极值及最值求参数【例3-1】（2020·霍邱县第二中学高二开学考试（文））已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(  )A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【例3-2】（2020·山东高三月考）已知函数．（1）求的极值；（2）求在上的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，则在上是减函数，无极值；当时，令，解得，则在上是减函数，在上是增函数，所以当时，有极小值，，无极大值，综上，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；（2）①当时，由（1）知在上是减函数， 所以当时，有最大值；②当时，由（1）知在上是减函数，在上是增函数，（i）当，即时，在上是增函数，所以当时，有最大值；（ii）当即时，在上是减兩数，在上是增函数.若，即时，有最大值；若，即时，有最大值；（ⅲ）当即时，在上是减函数，所以当时，有最大值，综上所述，当时，有最大值；当时，有最大值.【一隅三反】1．（2020·重庆北碚·西南大学附中高二期末）已知函数在处取得极值，则（）A．1B．2C．D．-2【答案】C【解析】，依题意，即.此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.所以.故选：C2．（2020·山西高二期中（理））已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（） A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，即，令z＝2a﹣b，∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（，）．故选B．3．（2020·四川省绵阳高二开学考试（理））若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得：， 因为函数恰有两个极值点，所以函数有两个不同的零点.令，等价转化成有两个不同的实数根，记：，所以，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递减，作出的简图如下：要使得有两个不同的实数根，则，即：，整理得：.故选D4．（2020·江苏溧水·高二期中）已知函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．【答案】（Ⅰ）(0，)，(1，＋∞)（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，，定义域为．．令，得或．列表如下＋－＋↗↘↗所以函数的单调增区间为和．（Ⅱ）．令，得或．当时，不论还是，在区间上，均为增函数．所以；当时， －0＋↘极小值↗所以；当时，1－↘所以．综上，．.5．（2020·高二期末）设函数（）.（1）讨论函数的极值； （2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.【答案】（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）【解析】（1）.当时，，在R上单调递增；无极值当时，，解得，由，解得.函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增，∴函数在上的最小值为，即，矛盾.当时，由（1）得是函数在R上的极小值点.①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾.③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即.令（），则，∴在上单调递减， 而，∴在上没有零点，即当时，方程无解.综上，实数a的值为.