人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)4.2.2《等差数列的前n项和》（解析版）

4.2.2等差数列的前n项和思维导图常见考法 考点一等差数列的基本量【例1】（2020·陕西省安康中学其他（理））记为等差数列的前项和，，，则（）A．-77B．-70C．-49D．-42【答案】A【解析】由，得，∴，，.故选:A【一隅三反】1．（2020·内蒙古赤峰）若等差数列的前项和为，且满足，，则公差（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】∵，∴，，解得.故选：A.2．（2020·河南信阳·其他（文））正项等差数列的前和为，已知，则=（）A．35B．36C．45D．54【答案】C【解析】正项等差数列的前项和，，， 解得或（舍），，故选C.3．（2020·湖北十堰）已知等差数列的前n项和满足，则（）A．12B．13C．14D．15【答案】D【解析】因为，所以，又，所以．故，解得．故选：D.考点二前n项和Sn与等差中项【例2】(1）（2020·高一期末）等差数列中，，则数列前11项和（）A．12B．60C．66D．72（2）．（2020·吉林朝阳·开学考试）设是等差数列的前n项和，若则（）A．B．C．D．【答案】(1)C（2）A【解析】（1）在等差数列中，，所以所以.故选：C.（2）在等差数列{an}中，由，得故选：A （1）如果为等差数列，若，则．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.【一隅三反】1．（2020·四川成都·二模（文））若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）若两个等差数列的前n项和分别为，，且满足，则（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】，又因为，所以.故选：D3．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】在为等差数列中，当，，，时，．所以，又因为，所以．故选：A．4．（2020·湖南宁乡一中）在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由等差数列的性质可得：，，代入已知可得，即，故数列的前项之和．故选．考点三前n项和Sn的性质【例3】（1）（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．6B．5C．4D．3（2）．（2019·陕西武功·高三月考（理））设等差数列的前项和为若,，则()A．45B．54C．72D．81（3）（2020·浙江吴兴·）设为等差数列的前项和，且，，则（）A．B．C．D．【答案】（1）D（2）B（3）A【解析】（1）因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．5a1+20d=15，5a1+25d=30，d=3，选B（2）因为为等差数列，所以为等差数列， 所以即，所以，故选B.（3）设等差数列的公差为，则，则，因此，.故选：A.一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列【一隅三反】1．（2020·山东省高二期中）一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（）A．75B．100C．50D．125【答案】A【解析】设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为，由题意得，，解得，，故中间的项的和为75，故选：A．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）是等差数列}的前n项和，若，则为（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】设，根据是一个首项为，公差为的等差数列，各项分别为，故.故选：.3．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））在等差数列中，，其前项和为，若，则（）A．0B．2018C．D．2020【答案】D【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.，，解得.则.故选：D.考点四前n项和Sn的最值【例4】（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（）A．8B．7或8C．8或9D．9【答案】C【解析】，数列是等差数列，并且公差为，，对称轴是，，所以当或时，取得最大值.故选：C【一隅三反】1．（2021·河南淇滨·高二月考）等差数列{an}的前n项和为Sn，S100＞0，S101＜0，则满足anan+1＜0的n＝（）A．50B．51C．100D．101 【答案】A【解析】根据题意，等差数列中，，，则有，则有；又由，则有；则有，若，必有；故选：A2．（2020·吉林南关·长春市实验中学）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为等差数列的前项和有最大值，故可得因为，故可得，整理得，即，又因为，故可得.又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：D.3．（2020·安徽金安·高一期中（文））已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（）A．4B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为，故.因为，故，所以，所以当时，取得最小值.故选：C.4．（2020·安徽金安·高一期中（理））已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（） A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得到；由，得到，∴等差数列为递减数列，且，,,当时，，且最大，最小，所以最大；当时，，此时；当时，，且，，所以，综上所述，，，…，中最大的是.故选：C．考点五含有绝对值的求和【例5】（2021·河南淇滨·高二月考）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，设，求．【答案】（1），；（2）. 【解析】（1），当时，，满足，.设等差数列的公差为，则，；（2）由（1）知，，．当时，；当时，．综上所述，.【一隅三反】1．（2019·浙江吴兴·高一月考）已知等差数列中，，，记，记的前项和为，的前项和为.（1）求首项和公差；（2）求和的表达式【答案】（1），；（2），.【解析】（1）由题可得，解得，；（2）由（1）可知， ，，当，即时，,当时，，.2．（2020·安徽月考）已知数列的前n项和为，且().（1）求的最小值；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）.（2）【解析】（1），又，所以当或时，取得最小值，且最小值为.（2）当时，，所以.当时，满足上式，所以.由，解得，于是数列前9项为负，第10项为0，第11到20项为正.所以数列的前20项和为 .3．（2020·期末）已知数列的前项和．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以当时，，又因为时，适合上式，所以；（2）因为.①当时，，所以；②当时，，所以.所以.