人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)拓展三《含参函数单调性的分类讨论》（解析版）

拓展三含参函数单调性的分类讨论思维导图常见考法考点一导函数为一根【例1】．（2020·安徽）已知函数.讨论的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以.①当时，因为，所以在上单调递增；②当时，令，解得或. 令，解得，则在，上单调递增；在上单调递减.【一隅三反】1．（2020·河南）已知函数.讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【解析】的定义域为，，当时，，则在上是增函数；当时，，所以；或；，所以在上是减函数，在和上是增函数.2．（2020·山西运城）已知函数.讨论的单调性；【答案】具体见解析【解析】函数，定义域为，，当时，.故在定义域上单调递增，此时无减区间.当时，令，得；当时，，故单调递增；当时，，故单调递减. 综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.3．（2020·青海高二期末（理））已知函数，.讨论的单调性；【答案】当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；【解析】因为，所以.当时，恒成立，在上单调递减；当时，由，得；由，得.故在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.考点二导函数为两根【例2】．（2020·四川南充·高二期末（理））已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）又 当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数【一隅三反】1．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数，函数．判断函数的单调性；【答案】答案见解析【解析】由题意得，；∴．当时，，函数在上单调递增；当时，令，有：在上单调递增；令，有：在上单调递减；综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．2．（2020·河南郑州）已知函讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】答案见解析【解析】. 当时，令，得，令，得.故在单调递减，在单调递增.当时，令，得，.①当即时，，在R上单调递增.②当即时，在上单调递减，在，上单调递增.③当即时，在上单调递减，在，上单调递增.3．已知函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以.令，解得或.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.若，则， 当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；时，函数单调递增区间为；时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.考点三不能因式分解【例3】．（2019·全国湖北·高二期中（文））设函数讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】定义域为，，令，①当时，，，故在上单调递增，②当时，，的两根都小于零，在上，，故在上单调递增，③当时，，的两根为，当时，；当时，；当时，；故分别在上单调递增，在上单调递减.【一隅三反】1．（2019·洋县中学月考）已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；【解析】（Ⅰ），∵曲线在处的切线与直线平行，∴，即，故；（Ⅱ）函数的定义域为.当时，恒成立，故在上单调递增；②当时，，令，得.∵，∴方程有两不等实根.∵，，∴.令，得或；令，得.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.另法（常规方法）：讨论的符号.当，即时，恒成立，则，在上递增；②当，即或时，方程有两不等实根.（i）当时，由知，则恒成立，故在上递增；（ii）当时，由知，令，得或；令，得. 故在、上递增，在上递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.2．已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】的定义域为，，对于，，当时，，则在上是增函数.当时，对于，有，则在上是增函数.当时，令，得或，令，得，所以在，上是增函数，在上是减函数.综上，当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数， 在上是减函数.